Questão 2 ( 3,2 pts): Considere um anel de cargas de raio b, centrado na origem no plano x y. Dado que a densidade linear de cargas no anel é \rho_{l},
a) ( 0,2 pts) Se a distribuição de carga no anel é uniforme, determine a carga total no anel.
b) ( 0,4 pts) Se a distribuição de carga no anel não é uniforme, e igual a \rho_{l}=a_{0} \cos ^{2}(\varphi), determine a carga total no anel. a_{0} é uma constante.
c) ( 0,4 pts) Faça um gráfico \left(\rho_{t} \times \varphi\right) da distribuição de carga no anel para o item b). (observação: indicar os pontos de abscissa e ordenada no gráfico)
d) ( 1,8 pts) Se a distribuição de carga no anel é uniforme, calcule o campo elétrico devido ao anel no ponto de coordenadas cartesianas ( 0,0, z ). (observação: desenvolver de forma clara, detalhada e organizada todas as etapas de cálculo).
e) ( 0,4 pts) Expresse o vetor campo elétrico calculado no item d) em coordenadas esféricas.

Passo 1

O enunciado descreve um anel de raio b, centrado na origem no plano x y. A densidade linear de carga ao longo do anel é indicada por \rho_{l}. O enunciado faz as seguintes perguntas, e nos dá as informações abaixo:
  • Perguntas:
    1. (a) Se a distribuição é uniforme, qual é a carga total do anel?
    2. (b) Se a distribuição é \rho_{l}=a_{0}\cos^{2}(\varphi), qual é a carga total do anel? ( a_{0} é uma constante.)
    3. (c) Fazer o gráfico \big(\rho_{t}\times\varphi\big) da distribuição do item (b) e indicar pontos de abscissa e ordenada.
    4. (d) Para distribuição uniforme, calcular o campo elétrico no ponto de coordenadas cartesianas (0,0,z). Pedem desenvolvimento claro e detalhado.
    5. (e) Expressar o vetor campo elétrico do item (d) em coordenadas esféricas.
  • Dados e convenções fornecidas:
    • Raio do anel: b.
    • Coordenada angular ao longo do anel: \varphi (ângulo polar no plano xy).
    • Densidade linear uniforme: \rho_{l} (parte a).
    • Densidade linear não uniforme: \rho_{l}(\varphi)=a_{0}\cos^{2}(\varphi) (parte b e c).
    • Ponto onde calcular o campo: (0,0,z) (eixo z, acima ou abaixo do plano do anel).
    • Uso de eletrostática clássica (lei de Coulomb) e simetria axial do problema.
A partir daqui vou desenvolver cada item passo a passo e com explicações didáticas de todas as fórmulas usadas.

Passo 2

(a) Carga total para distribuição uniforme — entendimento físico e fórmula de integração.
  • Conceito: densidade linear \rho_{l} é carga por unidade de comprimento ao longo do anel. Se é uniforme, cada pequeno elemento de comprimento dl carrega dq=\rho_{l}\,dl.
  • Comprimento total do anel (circunferência): L=2\pi b.
  • Portanto a carga total Q é soma (integração) de todos os dq ao longo do anel: Q=\int_{\text{anel}} dq=\int_{\text{anel}} \rho_{l}\,dl.Como \rho_{l} é constante, sai da integral: Q=\rho_{l}\int_{\text{anel}} dl=\rho_{l}\,L=\rho_{l}\,(2\pi b).
  • Resultado imediato: Q = 2\pi b\,\rho_{l}.
Vou dar um exemplo pequeno para fixar: se \rho_{l}=5\\ \text{C/m} e b=0,1\\ \text{m}, então Q=2\pi\cdot 0,1\cdot 5= \pi coulomb.

Passo 3

(b) Carga total para distribuição não uniforme \rho_{l}(\varphi)=a_{0}\cos^{2}(\varphi).
  • Primeiro, relacione comprimento elementar dl com o ângulo \varphi: ao percorrer ângulo d\varphi num círculo de raio b, o comprimento elementar é dl = b\,d\varphi.Explicação: comprimento de arco é raio vezes ângulo (ângulo em radianos).
  • A carga elementar é dq = \rho_{l}(\varphi)\,dl = a_{0}\cos^{2}(\varphi)\,b\,d\varphi.
  • Integramos \varphi de 0 a 2\pi para cobrir o anel todo: Q=\int_{0}^{2\pi} dq = b a_{0}\int_{0}^{2\pi} \cos^{2}(\varphi)\,d\varphi.
  • Calcule a integral \int_{0}^{2\pi} \cos^{2}(\varphi)\,d\varphi. Use a identidade trigonométrica \cos^{2}(\varphi)=\frac{1+\cos(2\varphi)}{2}.Substituindo: \int_{0}^{2\pi} \cos^{2}(\varphi)\,d\varphi = \int_{0}^{2\pi} \frac{1+\cos(2\varphi)}{2}\,d\varphi = \frac{1}{2}\int_{0}^{2\pi}1\,d\varphi + \frac{1}{2}\int_{0}^{2\pi}\cos(2\varphi)\,d\varphi.
  • Avaliando: \frac{1}{2}\int_{0}^{2\pi}1\,d\varphi = \frac{1}{2}\cdot (2\pi)=\pi,e \int_{0}^{2\pi}\cos(2\varphi)\,d\varphi = 0porque \cos(2\varphi) tem período \pi e integra-se a zero ao longo de dois períodos.
  • Então a integral vale \pi. Logo Q = b a_{0}\cdot \pi = \pi a_{0} b.
  • Observação didática: isso mostra que mesmo com densidade variando em \varphi, o resultado depende da média sobre o anel; como \langle \cos^{2}\rangle = 1/2, a carga total é a_0 b (2\pi \cdot 1/2)=\pi a_0 b.

Passo 4

(c) Gráfico \big(\rho_{t}\times\varphi\big) para \rho_{t}(\varphi)=a_{0}\cos^{2}(\varphi). Interpretação e pontos importantes.
  • A função é periódica com período \pi porque \cos^{2}(\varphi+\pi)=\cos^{2}\varphi.
  • Valores notáveis:
    • \varphi=0:\\ \rho_{t}(0)=a_{0}\cos^{2}(0)=a_{0}\cdot 1 = a_{0}.
    • \varphi=\tfrac{\pi}{2}:\\ \rho_{t}\big(\tfrac{\pi}{2}\big)=a_{0}\cos^{2}\big(\tfrac{\pi}{2}\big)=a_{0}\cdot 0 = 0.
    • \varphi=\pi:\\ \rho_{t}(\pi)=a_{0}\cos^{2}(\pi)=a_{0}\cdot 1 = a_{0}.
    • \varphi=\tfrac{3\pi}{2}:\\ \rho_{t}\big(\tfrac{3\pi}{2}\big)=0.
    • \varphi=2\pi:\\ \rho_{t}(2\pi)=a_{0}.
  • Forma do gráfico: uma onda positiva com picos em a_{0} nos pontos \varphi=0,\pi,2\pi e zeros em \varphi=\tfrac{\pi}{2},\tfrac{3\pi}{2}. Entre esses pontos a curva segue a forma de \cos^{2}, ou seja, suavemente decresce de a_0 a 0 e cresce de volta.
  • Indicação de eixos e pontos (abscissa = \varphi, ordenada = \rho_{t}):
    • Eixo horizontal (abscissa): marcar 0,\tfrac{\pi}{2},\pi,\tfrac{3\pi}{2},2\pi.
    • Eixo vertical (ordenada): marcar 0 e a_{0}.
  • Se tivesse que desenhar à mão: começa em (0,a_{0}), desce até (\tfrac{\pi}{2},0), sobe até (\pi,a_{0}), desce até (\tfrac{3\pi}{2},0), sobe até (2\pi,a_{0}). A curva é sempre não-negativa porque \cos^{2}\ge 0.

Passo 5

(d) Campo elétrico no ponto (0,0,z) para anel com densidade linear uniforme. Estratégia: usar lei de Coulomb e simetria.
  • Lei de Coulomb (differencial): o campo elétrico diferencial produzido por um elemento de carga dq em posição \vec{r}' no ponto de observação \vec{r} é
    d\vec{E} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\frac{dq}{|\vec{r}-\vec{r}'|^{3}}\,(\vec{r}-\vec{r}'),
    onde \varepsilon_{0} é a permissividade do vácuo. Explicação das variáveis:
    • \vec{r}' é posição do elemento de carga (no anel).
    • \vec{r} é posição do ponto de observação, aqui (0,0,z).
    • dq é a carga do elemento.
    • O vetor \vec{r}-\vec{r}' aponta do elemento até o ponto de observação.
  • Parametrização do anel: um elemento do anel está em
    \vec{r}'(\varphi) = \big(b\cos\varphi,\; b\sin\varphi,\; 0\big),
    com 0\le\varphi<2\pi.
  • Ponto de observação:
    \vec{r} = (0,0,z).
  • Vetor de separação:
    \vec{R} := \vec{r}-\vec{r}' = \big(-b\cos\varphi,\; -b\sin\varphi,\; z\big).
  • Distância do elemento até o ponto:
    R = |\vec{R}| = \sqrt{(-b\cos\varphi)^{2}+(-b\sin\varphi)^{2}+z^{2}} = \sqrt{b^{2}+z^{2}},
    que é independente de \varphi. Observação didática: isso é consequência da simetria axial — todos os pontos do anel estão à mesma distância do ponto (0,0,z).
  • Densidade linear uniforme: \rho_{l} constante. Um elemento de comprimento dl = b\,d\varphi tem carga
    dq = \rho_{l}\,dl = \rho_{l}\,b\,d\varphi.
  • Agora escrevemos d\vec{E}:
    d\vec{E} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\frac{\rho_{l}\,b\,d\varphi}{(b^{2}+z^{2})^{3/2}}\,\big(-b\cos\varphi,\; -b\sin\varphi,\; z\big).
  • Componentes x e y:
    • dE_{x} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\frac{\rho_{l} b\,d\varphi}{(b^{2}+z^{2})^{3/2}}(-b\cos\varphi).
    • dE_{y} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\frac{\rho_{l} b\,d\varphi}{(b^{2}+z^{2})^{3/2}}(-b\sin\varphi).
      Ao integrar \varphi de 0 a 2\pi, as integrais de \cos\varphi e \sin\varphi são zero:
    \int_{0}^{2\pi}\cos\varphi\,d\varphi = 0,\qquad \int_{0}^{2\pi}\sin\varphi\,d\varphi = 0.
    Logo as componentes x e y do campo total se cancelam por simetria: E_x=E_y=0.
  • Componente z:
    dE_{z} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\frac{\rho_{l} b\,d\varphi}{(b^{2}+z^{2})^{3/2}}\,z.
    Integrando \varphi de 0 a 2\pi:
    E_{z} = \int_{0}^{2\pi} dE_{z} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\frac{\rho_{l} b\,z}{(b^{2}+z^{2})^{3/2}}\int_{0}^{2\pi} d\varphi = \frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\frac{\rho_{l} b\,z}{(b^{2}+z^{2})^{3/2}}(2\pi).
  • Simplificando, use Q = 2\pi b \rho_{l} (resultado do item a):
    E_{z} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\frac{(2\pi b \rho_{l})\,z}{(b^{2}+z^{2})^{3/2}} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\frac{Q\,z}{(b^{2}+z^{2})^{3/2}}.
  • Direção e sinal: esse E_{z} é a componente escalar ao longo do eixo z. O vetor campo é paralelo ao eixo z:
    \vec{E}(0,0,z) = E_{z}\,\hat{z} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\frac{Q\,z}{(b^{2}+z^{2})^{3/2}}\,\hat{z}.
    Observação sobre o sentido: para carga total Q>0 e z>0, E_{z}>0 (campo aponta para + z); para z<0, E_{z}<0 (aponta para - z). Isso é coerente com o fato de cargas positivas repelem ao longo da linha que liga elemento ao ponto de observação.
  • Comentário físico: a expressão indica que no centro do anel ( z=0) o campo é zero; para z grande ( |z|\gg b) o campo se aproxima do de uma carga pontual Q localizada na origem:
    E_{z}\approx \frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\frac{Q}{z^{2}} \quad\text{quando }|z|\gg b,
    pois (b^{2}+z^{2})^{3/2}\approx z^{3} e então E_{z}\approx (1/4\pi\varepsilon_{0})Qz/z^{3}=(1/4\pi\varepsilon_{0})Q/z^{2}.

Passo 6

(e) Expressar o vetor campo em coordenadas esféricas.
  • Lembrete sobre coordenadas esféricas: um ponto é descrito por (r,\theta,\varphi) onde
    • r é a distância radial ao origem,
    • \theta é o ângulo polar (colatitude) contado a partir do eixo +z ( 0\le\theta\le\pi),
    • \varphi é o mesmo ângulo azimutal do plano xy (aqui irrelevante porque estamos no eixo).
      E os vetores unitários são \hat{r},\hat{\theta},\hat{\varphi}.
  • Para pontos sobre o eixo z (isto é, coordenadas cartesianas (0,0,z)):
    • Se z>0: \theta=0 e \hat{r}=\hat{z}.
    • Se z<0: \theta=\pi e \hat{r}=-\hat{z}.
      Também r=|z| nesse caso, e z=r\cos\theta é coerente (para eixo, \cos\theta=\pm 1).
  • Podemos escrever a expressão do item (d) usando r e \hat{r}. Note que z=r\cos\theta em geral, mas no eixo \cos\theta=\operatorname{sgn}(z) e |z|=r.
    • Caso z>0 ( \theta=0): \hat{z}=\hat{r} e z=r. Portanto \vec{E} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\frac{Q\,r}{(b^{2}+r^{2})^{3/2}}\;\hat{r},\qquad (\text{para }z>0).
    • Caso z<0 ( \theta=\pi): \hat{z}=-\hat{r} e z=-r. Então \vec{E} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\frac{Q\,(-r)}{(b^{2}+r^{2})^{3/2}}\;(-\hat{r}) = \frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\frac{Q\,r}{(b^{2}+r^{2})^{3/2}}\;\hat{r},\qquad (\text{para }z<0).Observação: algebraicamente dá mesma expressão em termos de r e \hat{r} (não há contradição), mas o fato importante é que em coordenadas esféricas no eixo o vetor é radial (aponta para fora se Q e r tiverem sinais convencionais). Para ficar mais direto:
  • Uma forma compacta usando r=|z| e \hat{r} é \vec{E} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\frac{Q\,r}{\big(b^{2}+r^{2}\big)^{3/2}}\;\hat{r},onde aqui r é a coordenada radial em esféricas (isto é, r=|z| porque estamos sobre o eixo).
  • Outra forma, usando z=r\cos\theta e notando que no eixo \theta=0 ou \pi, é simplesmente afirmar que o campo tem apenas componente radial \hat{r} e módulo (1/4\pi\varepsilon_{0})Q r/(b^{2}+r^{2})^{3/2}.

Resposta

(a) Q=2\pi b\,\rho_{l}.
(b) Q=\pi a_{0} b.
(c) Gráfico: \rho_{t}(\varphi)=a_{0}\cos^{2}(\varphi) com pontos notáveis \big(0,a_{0}\big),\\ \big(\tfrac{\pi}{2},0\big),\\ \big(\pi,a_{0}\big),\\ \big(\tfrac{3\pi}{2},0\big),\\ \big(2\pi,a_{0}\big). (Eixo abscissa: \varphi marcado em 0,\tfrac{\pi}{2},\pi,\tfrac{3\pi}{2},2\pi. Eixo ordenada: \rho_{t} marcado em 0 e a_{0}.)
(d) \displaystyle \vec{E}(0,0,z)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\frac{Q\,z}{\big(b^{2}+z^{2}\big)^{3/2}}\,\hat{z}.
(e) Em coordenadas esféricas (sobre o eixo, r=|z| e vetor radial \hat{r}):
\displaystyle \vec{E}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\frac{Q\,r}{\big(b^{2}+r^{2}\big)^{3/2}}\,\hat{r}.

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