Questão 2 ( 3,2 pts): Considere um anel de cargas de raio
, centrado na origem no plano
. Dado que a densidade linear de cargas no anel é
,
a) ( 0,2 pts) Se a distribuição de carga no anel é uniforme, determine a carga total no anel.
b) ( 0,4 pts) Se a distribuição de carga no anel não é uniforme, e igual a
, determine a carga total no anel.
é uma constante.
c) ( 0,4 pts) Faça um gráfico
da distribuição de carga no anel para o item b). (observação: indicar os pontos de abscissa e ordenada no gráfico)
d) ( 1,8 pts) Se a distribuição de carga no anel é uniforme, calcule o campo elétrico devido ao anel no ponto de coordenadas cartesianas (
). (observação: desenvolver de forma clara, detalhada e organizada todas as etapas de cálculo).
e) ( 0,4 pts) Expresse o vetor campo elétrico calculado no item d) em coordenadas esféricas.
a) ( 0,2 pts) Se a distribuição de carga no anel é uniforme, determine a carga total no anel.
b) ( 0,4 pts) Se a distribuição de carga no anel não é uniforme, e igual a
c) ( 0,4 pts) Faça um gráfico
d) ( 1,8 pts) Se a distribuição de carga no anel é uniforme, calcule o campo elétrico devido ao anel no ponto de coordenadas cartesianas (
e) ( 0,4 pts) Expresse o vetor campo elétrico calculado no item d) em coordenadas esféricas.
Passo 1
O enunciado descreve um anel de raio
, centrado na origem no plano
. A densidade linear de carga ao longo do anel é indicada por
. O enunciado faz as seguintes perguntas, e nos dá as informações abaixo:
-
Perguntas:
- (a) Se a distribuição é uniforme, qual é a carga total do anel?
- (b) Se a distribuição é
, qual é a carga total do anel? ( é uma constante.) - (c) Fazer o gráfico
da distribuição do item (b) e indicar pontos de abscissa e ordenada. - (d) Para distribuição uniforme, calcular o campo elétrico no ponto de coordenadas cartesianas
. Pedem desenvolvimento claro e detalhado. - (e) Expressar o vetor campo elétrico do item (d) em coordenadas esféricas.
-
Dados e convenções fornecidas:
- Raio do anel:
. - Coordenada angular ao longo do anel:
(ângulo polar no plano ). - Densidade linear uniforme:
(parte a). - Densidade linear não uniforme:
(parte b e c). - Ponto onde calcular o campo:
(eixo , acima ou abaixo do plano do anel). - Uso de eletrostática clássica (lei de Coulomb) e simetria axial do problema.
- Raio do anel:
A partir daqui vou desenvolver cada item passo a passo e com explicações didáticas de todas as fórmulas usadas.
Passo 2
(a) Carga total para distribuição uniforme — entendimento físico e fórmula de integração.
- Conceito: densidade linear
é carga por unidade de comprimento ao longo do anel. Se é uniforme, cada pequeno elemento de comprimento carrega . - Comprimento total do anel (circunferência):
. - Portanto a carga total
é soma (integração) de todos os ao longo do anel: Como é constante, sai da integral: - Resultado imediato:
.
Vou dar um exemplo pequeno para fixar: se
e
, então
coulomb.
Passo 3
(b) Carga total para distribuição não uniforme
.
- Primeiro, relacione comprimento elementar
com o ângulo : ao percorrer ângulo num círculo de raio , o comprimento elementar é Explicação: comprimento de arco é raio vezes ângulo (ângulo em radianos). - A carga elementar é
- Integramos
de a para cobrir o anel todo: - Calcule a integral
. Use a identidade trigonométrica Substituindo: - Avaliando:
e porque tem período e integra-se a zero ao longo de dois períodos. - Então a integral vale
. Logo - Observação didática: isso mostra que mesmo com densidade variando em
, o resultado depende da média sobre o anel; como , a carga total é .
Passo 4
(c) Gráfico
para
. Interpretação e pontos importantes.
- A função é periódica com período
porque . - Valores notáveis:
-
- Forma do gráfico: uma onda positiva com picos em
nos pontos e zeros em . Entre esses pontos a curva segue a forma de , ou seja, suavemente decresce de a e cresce de volta. - Indicação de eixos e pontos (abscissa =
, ordenada = ): - Eixo horizontal (abscissa): marcar
. - Eixo vertical (ordenada): marcar
e .
- Eixo horizontal (abscissa): marcar
- Se tivesse que desenhar à mão: começa em
, desce até , sobe até , desce até , sobe até . A curva é sempre não-negativa porque .
Passo 5
(d) Campo elétrico no ponto
para anel com densidade linear uniforme. Estratégia: usar lei de Coulomb e simetria.
-
Lei de Coulomb (differencial): o campo elétrico diferencial produzido por um elemento de carga
em posição no ponto de observação é ondeé a permissividade do vácuo. Explicação das variáveis: -
é posição do elemento de carga (no anel). -
é posição do ponto de observação, aqui . -
é a carga do elemento. - O vetor
aponta do elemento até o ponto de observação.
-
-
Parametrização do anel: um elemento do anel está emcom
. -
Ponto de observação:
-
Vetor de separação:
-
Distância do elemento até o ponto:que é independente de
. Observação didática: isso é consequência da simetria axial — todos os pontos do anel estão à mesma distância do ponto . -
Densidade linear uniforme:
constante. Um elemento de comprimento tem carga -
Agora escrevemos
: -
Componentes
e : -
. -
.
Ao integrarde a , as integrais de e são zero:
Logo as componentese do campo total se cancelam por simetria: . -
-
Componente
: Integrandode a : -
Simplificando, use
(resultado do item a): -
Direção e sinal: esse
é a componente escalar ao longo do eixo . O vetor campo é paralelo ao eixo : Observação sobre o sentido: para carga totale , (campo aponta para + ); para , (aponta para - ). Isso é coerente com o fato de cargas positivas repelem ao longo da linha que liga elemento ao ponto de observação. -
Comentário físico: a expressão indica que no centro do anel (
) o campo é zero; para grande ( ) o campo se aproxima do de uma carga pontual localizada na origem: poise então .
Passo 6
(e) Expressar o vetor campo em coordenadas esféricas.
- Lembrete sobre coordenadas esféricas: um ponto é descrito por
onde -
é a distância radial ao origem, -
é o ângulo polar (colatitude) contado a partir do eixo ( ), -
é o mesmo ângulo azimutal do plano (aqui irrelevante porque estamos no eixo).
E os vetores unitários são.
-
- Para pontos sobre o eixo
(isto é, coordenadas cartesianas ): - Se
: e . - Se
: e .
Tambémnesse caso, e é coerente (para eixo, ).
- Se
- Podemos escrever a expressão do item (d) usando
e . Note que em geral, mas no eixo e . - Caso
( ): e . Portanto - Caso
( ): e . Então Observação: algebraicamente dá mesma expressão em termos de e (não há contradição), mas o fato importante é que em coordenadas esféricas no eixo o vetor é radial (aponta para fora se e tiverem sinais convencionais). Para ficar mais direto:
- Caso
- Uma forma compacta usando
e é onde aqui é a coordenada radial em esféricas (isto é, porque estamos sobre o eixo). - Outra forma, usando
e notando que no eixo ou , é simplesmente afirmar que o campo tem apenas componente radial e módulo .
Resposta
(a)
(b)
(c) Gráfico:
com pontos notáveis
. (Eixo abscissa:
marcado em
. Eixo ordenada:
marcado em
e
.)
(d)
(e) Em coordenadas esféricas (sobre o eixo,
e vetor radial
):