Quais grandezas analizadas na cinemática?

Passo 1

O enunciado pergunta claramente: “Quais grandezas analisadas na cinemática?”
Não há outros dados numéricos ou figura. O objetivo é listar e explicar as grandezas físicas que aparecem quando se estuda o movimento de um corpo.

Passo 2

Começando pelo fundamento: toda análise de movimento parte de uma referência e de uma variável que descreve a posição. A primeira grandeza é a posição.
  • Posição: representada por \vec r(t). Aqui \vec r é um vetor que aponta do sistema de referência (origem) até o ponto onde está o corpo, e depende do tempo t. Unidade típica: metros (\text{m}).
    Explicação didática: pensar em \vec r(t) como um “endereço” que muda com o tempo. Em 1D, escreve-se simplesmente x(t); em 2D, \vec r(t)=(x(t),y(t)).

Passo 3

Distância e deslocamento — duas grandezas que parecem iguais, mas são diferentes:
  • Deslocamento: \Delta \vec r=\vec r(t_2)-\vec r(t_1). É um vetor que liga a posição inicial à final; pode ser positivo, negativo ou ter direção em 2D/3D. Unidade: \text{m}.
  • Distância percorrida: escalar não negativo, soma do comprimento real do caminho seguido entre t_1 e t_2. Unidade: \text{m}.
    Exemplo rápido: se alguém vai de x=0 até x=3 e volta a x=1, o deslocamento total é \Delta x=1-0=1\\ \text{m}, mas a distância percorrida é 3+2=5\\ \text{m}.

Passo 4

Velocidade média e rapidez média (speed) — como traduzir movimento em “por segundo”:
  • Velocidade média (vetor): \displaystyle \vec v_{\text{méd}}=\frac{\Delta \vec r}{\Delta t}=\frac{\vec r(t_2)-\vec r(t_1)}{t_2-t_1}é. Unidade: \text{m/s}. Indica direção e sentido.
  • Rapidez média (escalar): \displaystyle \text{rapidez média}=\frac{\text{distância total}}{\Delta t}éâ. Unidade: \text{m/s}. Não indica direção.
    Dica prática para prova: sempre verifique se a questão pede deslocamento (usar velocidade média vetorial) ou distância (usar rapidez média).

Passo 5

Velocidade instantânea — o que o “velocímetro” do carro mostra naquele instante:
  • Definição (limite): \displaystyle \vec v(t)=\lim_{\Delta t\to0}\frac{\Delta \vec r}{\Delta t}=\frac{d\vec r}{dt}.
    Explicação da derivada em palavras: é o limite da velocidade média quando o intervalo de tempo fica muito pequeno. Em 1D, \displaystyle v(t)=\frac{dx}{dt}.
    Exemplo simples (sem pular etapas): se x(t)=3t^2 (metros), então
v(t)=\frac{d}{dt}(3t^2)=6t\quad(\text{m/s}).
Aqui foi usada a regra básica: \dfrac{d}{dt}(t^n)=n t^{n-1}.

Passo 6

Aceleração média — mudança de velocidade por unidade de tempo:
  • Definição: \displaystyle \vec a_{\text{méd}}=\frac{\Delta \vec v}{\Delta t}=\frac{\vec v(t_2)-\vec v(t_1)}{t_2-t_1}é. Unidade: \text{m/s}^2.
    Exemplo numérico curtinho: se a velocidade passa de 2\\ \text{m/s} para 8\\ \text{m/s} em 3\\ \text{s}, então \vec a_{\text{méd}}=(8-2)/3=2\\ \text{m/s}^2é.

Passo 7

Aceleração instantânea — taxa de variação instantânea da velocidade:
  • Definição: \displaystyle \vec a(t)=\lim_{\Delta t\to0}\frac{\Delta \vec v}{\Delta t}=\frac{d\vec v}{dt}=\frac{d^2\vec r}{dt^2}.
    Exemplo com a função anterior: se x(t)=3t^2 então v(t)=6t e
a(t)=\frac{dv}{dt}=\frac{d}{dt}(6t)=6\quad(\text{m/s}^2).
Observação amigável: aqui a aceleração é constante (não depende de t), o que simplifica muito os problemas.

Passo 8

Componentes e sinais — como trabalhar em 1D e 2D:
  • Em 1D use x(t), v_x(t), a_x(t) com v_x=\dfrac{dx}{dt} e a_x=\dfrac{d^2x}{dt^2}. O sinal indica o sentido (positivo para a direção escolhida, negativo para o contrário).
  • Em 2D/3D, trate cada componente separadamente: \vec r=(x,y), \vec v=(v_x,v_y), \vec a=(a_x,a_y) e v_x=dx/dt, etc.
    Dica de prova: escolha um eixo conveniente (por exemplo, direção do movimento) para reduzir trabalho e evitar erros de sinal.

Passo 9

Equações úteis para movimento com aceleração constante (casos muito comuns em prova) — derivação curta e uso:
Partindo de \vec a= constante, integrar em relação ao tempo:
  • Integração de \vec a=\dfrac{d\vec v}{dt}
\vec v(t)=\vec v_0+\vec a\,t,
onde \vec v_0 é a velocidade em t=0.
  • Integrando de novo \vec v=\dfrac{d\vec r}{dt} com \vec v(t) acima dá
\vec r(t)=\vec r_0+\vec v_0 t+\tfrac{1}{2}\vec a\,t^2,
onde \vec r_0 é a posição em t=0.
Outra relação útil (sem tempo explícito):
\vec v^{\,2}=\vec v_0^{\,2}+2\vec a\cdot(\vec r-\vec r_0).
(Em 1D escreve-se v^2=v_0^2+2a\Delta x.)
Explicação: essas fórmulas surgem integrando constantes e são as que resolvem a maioria dos problemas de MRUV (movimento retilíneo uniformemente variado).

Passo 10

Grandezas na cinemática de movimento circular — importantes quando a trajetória é curva:
  • Posição angular: \theta(t) (rad).
  • Deslocamento angular: \Delta\theta.
  • Velocidade angular: \omega(t)=\dfrac{d\theta}{dt} (rad/s).
  • Aceleração angular: \alpha(t)=\dfrac{d\omega}{dt} (rad/s^2).
    Relações entre linear e angular para um ponto a distância r do centro:
v=r\omega,\qquad a_{\text{tang}}=r\alpha,\qquad a_{\text{centrip}}=\frac{v^2}{r}=r\omega^2.
Direção: a aceleração centrípeta aponta para o centro da curva; a tangencial aponta na direção de variação da velocidade escalar.

Passo 11

Outras grandezas e conceitos que aparecem frequentemente e vale saber o significado prático:
  • Período T e frequência f (para movimentos periódicos), com f=\dfrac{1}{T} e \omega=2\pi f.
  • Componentes normal (ou centrípeta) e tangencial da aceleração: \vec a=\vec a_n+\vec a_t. \vec a_n muda direção da velocidade, \vec a_t muda o módulo da velocidade.
  • Trajetória, instante, intervalo de tempo: sempre identificar bem esses elementos antes de aplicar fórmulas.
  • Unidade e verificação dimensional: sempre conferir unidades (m, s, m/s, m/s^2).

Passo 12

Receita prática para resolver exercícios de cinemática (passo a passo para usar na prova):
  1. Desenhe o movimento e escolha um sistema de referência (origem e eixos).
  2. Liste o que é dado e o que se pede (posições, velocidades, acelerações, tempos).
  3. Identifique se a aceleração é constante ou variável. Se for constante, use as fórmulas do Passo 9. Se variável, use as definições com derivadas/integral.
  4. Trabalhe componente a componente (1D ou 2D).
  5. Verifique sinais e unidades no final.
    E um incentivo: siga esses passos com calma; desenhar a situação já resolve metade do problema mentalmente.

Resposta

Posição \vec r(t)
Deslocamento \Delta \vec r e distância percorrida
Velocidade média \displaystyle \vec v_{\text{méd}}=\frac{\Delta\vec r}{\Delta t}é e rapidez média
Velocidade instantânea \displaystyle \vec v(t)=\frac{d\vec r}{dt}
Aceleração média \displaystyle \vec a_{\text{méd}}=\frac{\Delta\vec v}{\Delta t}é
Aceleração instantânea \displaystyle \vec a(t)=\frac{d\vec v}{dt}=\frac{d^2\vec r}{dt^2}
Equações do movimento com aceleração constante ( \vec v=\vec v_0+\vec a t, \vec r=\vec r_0+\vec v_0 t+\tfrac{1}{2}\vec a t^2, v^2=v_0^2+2a\Delta x)
Grandezas angulares para movimento circular: \theta(t),\\ \omega=\dfrac{d\theta}{dt},\\ \alpha=\dfrac{d\omega}{dt} e relações v=r\omega,\\ a_t=r\alpha,\\ a_c=\dfrac{v^2}{r}=r\omega^2

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