Exercício 13: Considere o potencial barreira, ou seja,
V(x)=\left\{\begin{array}{llr} 0, & \text { se } & x<0 \\\ V_{0}, & \text { se } & 0 \leq x \leq a \\\\ 0, & \text { se } & x>a \end{array} .\right.
Considere uma partícula quântica vindo da esquerda para a direita com energia E>V_{0}.
a) Encontre as autofunções que descrevem a partícula nessa situação.
b) Utilizando as condições de continuidade, escreve as constantes das autofunções em termos de apenas uma constante.
c) Calcule os coeficientes de transmissão e reflexão (lembre da densidade de corrente!)
Passo 1
O enunciado dá um potencial retangular (barreira) e pede três coisas com a partícula incidindo da esquerda com energia E>V_{0}:
(a) encontrar as autofunções que descrevem o estado estacionário (ou seja, as soluções da equação de Schrödinger independente do tempo em cada região);
(b) usar as condições de continuidade para escrever as constantes das autofunções em termos de apenas uma constante (escolher uma normalização conveniente, por exemplo a amplitude incidente);
(c) calcular os coeficientes de transmissão e reflexão, usando a densidade de corrente para relacionar amplitudes a probabilidades.
A partícula vem da esquerda para a direita (há uma onda incidente viajando para +x).
A resolução começará a partir da equação de Schrödinger independente do tempo e das soluções planas em cada região, depois impondo continuidade de \psi e \psi' em x=0 e x=a e por fim computando correntes e T e R.]
Passo 2
Escrevendo a equação de Schrödinger independente do tempo e as soluções gerais em cada região.
onde k vale fora da barreira (região I e III) e k_{2} dentro da barreira (região II), já que E>V_{0} garante k_{2} real.
As soluções gerais, seguindo a condição física “onda incidente da esquerda” (onda que chega de -\infty em direção a +x), são:
Região I (x<0): superposição de onda incidente e refletida
\psi_{I}(x)=A\,e^{ikx}+B\,e^{-ikx},
onde A é amplitude da onda incidente (direita) e B amplitude da refletida (esquerda).
Região II (0\le x\le a): combinação de duas ondas dentro da barreira
\psi_{II}(x)=C\,e^{ik_{2}x}+D\,e^{-ik_{2}x}.
Região III (x>a): apenas onda transmitida para a direita
\psi_{III}(x)=F\,e^{ikx}.
Isso responde (a): as autofunções são exatamente essas formas em cada região, com constantes A,B,C,D,F a serem determinadas por condições de contorno.
Explicação didática curta: por que exponenciais? Porque para potencial constante a equação reduz a \psi''+k^{2}\psi=0 (com k apropriado), cuja solução é combinação de e^{\pm i k x}. O termo e^{ikx} representa uma onda viajando para a direita com momento \hbar k; e^{-ikx} viaja para a esquerda.
Passo 3
Impondo as condições de continuidade em x=0 e x=a.
Condições: \psi e \psi' são contínuas em x=0 e x=a. Escrevo as quatro equações resultantes.
\psi_{II}(a)=\psi_{III}(a)\quad\Rightarrow\quad C e^{ik_{2}a}+D e^{-ik_{2}a}=F e^{ika},
\psi'_{II}(a)=\psi'_{III}(a)\quad\Rightarrow\quad ik_{2}\big(C e^{ik_{2}a}-D e^{-ik_{2}a}\big)=ik F e^{ika}.
Essas são quatro equações lineares para as cinco constantes. Física: há uma liberdade global de multiplicar \psi por fase/constante; então escolhemos a amplitude incidente A como parâmetro livre (normalmente ponemos A=1 para obter razões relativas). O objetivo do item (b) é justamente escrever B,C,D,F em função de A.
Passo 4
Resolver o sistema: primeiro expressar C e D em termos de F usando as equações em x=a.
Essa é uma expressão útil: C e D estão escritas em termos de F.
Didaticamente: resolver primeiro no lado direito é prático porque a região III tem apenas um termo. Isso reduz as incógnitas e torna as contas gerenciáveis.
Passo 5
Agora usar as equações em x=0 para relacionar A,B com F (já temos C,D em função de F) e escolher A como referência.
Usando as expressões de C e D e fatorando e^{ika}, calculo C+D e C-D. As combinações ficam (usando \cos e \sin para simplificar):
Observação didática: a forma do denominador aparece muitas vezes em espalhamento por potencial retangular; é útil memorizá-la ou saber derivá-la rapidamente no exame.
Passo 6
Calcular densidade de corrente e os coeficientes de transmissão e reflexão.
o que leva ao resultado usual (substituindo k^{2}-k_{2}^{2}=\dfrac{2mV_{0}}{\hbar^{2}} e também usando k^{2}=\dfrac{2mE}{\hbar^{2}}, k_{2}^{2}=\dfrac{2m(E-V_{0})}{\hbar^{2}}):
a partir da qual R=|B/A|^{2} dá a mesma expressão 1-T.
Didática: note que T oscila com k_{2}a (comportamento de interferência dentro da barreira) e pode chegar a 1 quando \sin(k_{2}a)=0 (condição de ressonância, correspondendo a transparência total para certas energias).
Passo 7
Resumo das expressões das constantes em termos de A (item (b)) — útil para referência rápida.