Um tanque industrial cúbico tem de capacidade máxima de 125 \mathrm{m}^{3}. Dentro dele é armazenado uma certa solução salina com massa específica de 1250 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}. Supondo que o tanque está 70 \% cheio, encontre (ignore a pressão atmosférica):
A força hidrostática que atua no fundo do tanque.

Passo 1

O enunciado nos dá as seguintes informações e pede uma coisa:
  • Capacidade máxima do tanque (é um cubo): \,125\\ \mathrm{m}^{3}.
  • Massa específica da solução salina: \,\rho=1250\\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}.
  • O tanque está 70\% cheio.
  • Ignorar a pressão atmosférica.
  • O que se pede: a força hidrostática que atua no fundo do tanque (ou seja, a intensidade da força vertical que o fluido exerce sobre a base do cubo).

Passo 2

Primeiro vamos obter as dimensões do cubo a partir da capacidade máxima. Se o tanque é um cubo de aresta \,a, o volume total é \,a^{3}. Do enunciado:
a^{3}=125\\ \mathrm{m}^{3}.
Para encontrar \,a basta extrair a raiz cúbica:
a=\sqrt[3]{125}=5\\ \mathrm{m}.
Portanto a base do cubo (a área do fundo) tem dimensão \,a\times a.

Passo 3

Calcular o volume de fluido presente e a altura do fluido:
  • Volume total de fluido (70% do máximo):
V_{\text{fluido}}=0{,}70\times125=87{,}5\\ \mathrm{m}^{3}.
  • Área da base (fundo do tanque):
A_{\text{fundo}}=a^{2}=5^{2}=25\\ \mathrm{m}^{2}.
  • Altura do fluido (profundidade até o fundo), que é o volume dividido pela área da base:
h=\frac{V_{\text{fluido}}}{A_{\text{fundo}}}=\frac{87{,}5}{25}=3{,}5\\ \mathrm{m}.
Então o fundo está a uma profundidade \,h=3{,}5\\ \mathrm{m} abaixo da superfície do fluido.

Passo 4

Agora a parte física: pressão hidrostática em um ponto a profundidade \,h (quando se ignora a pressão atmosférica) é dada pela fórmula
p=\rho g h,
onde
  • \,p é a pressão absoluta devido ao fluido no ponto (em pascals, \mathrm{Pa}=\mathrm{N}/\mathrm{m}^{2}),
  • \,\rho é a massa específica do fluido (em \mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}),
  • \,g é a aceleração da gravidade (em \mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}),
  • \,h é a profundidade medida a partir da superfície livre até o ponto (em \mathrm{m}).
Aqui usaremos \,g=9{,}81\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}. Substituindo:
p=\rho g h = 1250\times9{,}81\times3{,}5\\ \mathrm{Pa}.
Fazendo as contas passo a passo:
1250\times3{,}5=4375,
4375\times9{,}81=42918{,}75\\ \mathrm{Pa}.
Logo a pressão no fundo (devida somente ao fluido) é \,p=42918{,}75\\ \mathrm{Pa}.
Explicação física curta e intuitiva: a pressão aumenta linearmente com a profundidade porque cada camada de fluido exerce o peso sobre as camadas abaixo; a fórmula \rho g h é exatamente o peso por unidade de área da coluna de fluido acima do ponto considerado.

Passo 5

A força hidrostática total que age sobre o fundo plano do tanque é simplesmente a pressão no fundo multiplicada pela área do fundo:
F=p\cdot A_{\text{fundo}}.
Substituindo os valores:
F=42918{,}75\times25\\ \mathrm{N}.
Calcule:
42918{,}75\times25=1\,072\,968{,}75\\ \mathrm{N}.
Arredondando para três algarismos significativos ou escrevendo em notação prática:
F\approx1{,}07\times10^{6}\\ \mathrm{N}.
Interpretação rápida: essa é a força vertical total que o fluido exerce sobre a base plana do tanque; note que desconsideramos a pressão atmosférica conforme pedido — se não a desconsiderássemos, deveríamos somar a pressão atmosférica à p antes de multiplicar por A, mas esse acréscimo seria igual para qualquer caso e foi explicitamente ignorado.

Resposta

\,F\approx1{,}07\times10^{6}\\ \mathrm{N}

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