Em uma granja foi observada a distribuição dos frangos em relação ao peso, que era a seguinte:
Peso (gramas) c|c hline Peso (gramas) & $fi$ hline $960 vdash 980$ & 60 $980 vdash 1.000$ & 160 $1.000 vdash 1.020$ & 280 $1.020 vdash 1.040$ & 260 $1.040 vdash 1.060$ & 160 $1.060 vdash 1.080$ & 80 hline
20 % 60
30 % 160
30 % 280
20 % 260
20 % 160
80
(a) Qual a média da distribuição?
(b) Qual o desvio padrão da distribuição?
© Construa o histograma indicando a média e o desvio padrão.
(d) Queremos dividir os frangos em quatro categorias, em relação ao peso, de modo que:
  • os mais leves sejam da categoria D;
  • os seguintes sejam da categoria C;
  • os seguintes sejam da categoria B;
  • os seguintes (ou seja, os mais pesados) sejam da categoria A;
Quais os limites de peso entre as categorias A, B, C e D?

Passo 1

Tranquilo, vamos entender o que o exercício pede. É uma distribuição de pesos de frangos em classes, com as frequências dadas. O conteúdo é Estatística Descritiva: média, desvio padrão, histograma e divisão em categorias por percentis. Para resolver vamos precisar:
  1. Calcular o ponto médio de cada classe;
  2. Usar a fórmula de média e de desvio padrão para distribuição agrupada;
  3. Montar o histograma de densidade de frequência;
  4. Fazer a interpolação linear na tabela acumulada para achar os limites que correspondem a 20 %, 50 % e 80 % da amostra.

Passo 2

Começando pela média. Para isso:
a) Calcula o ponto médio x1 = 960 + 9802 = 970, de cada intervalo. Por exemplo, no intervalo x = (970,,990,,1010,,1030,,1050,,1070) ,
barx = sumi fi,xisumi fi
e assim por diante:
sumi fi,xi = 60cdot970 + 160cdot990 + 280cdot1010 + 260cdot1030 + 160cdot1050 + 80cdot1070 = 1,020,800
b) A fórmula da média para série agrupada é
barx = 1,020,8001000 = 1020,8 g
Aqui . Fazendo as contas:
Logo

Passo 3

Agora o desvio padrão. Primeiro a variância, usando
sigma^2 = sumi fi,xi^2sumi fi - barx^2
Calculamos =60cdot970^2 + 160cdot990^2 + 280cdot1010^2 + 260cdot1030^2 + 160cdot1050^2 + 80cdot1070^2 = 1,042,724,000 :
E[x^2]=1,042,724,0001000=1,042,724 e sigma^2 = 1,042,724 - (1020,8)^2 = 691,36
Então
sigma = raiz691,36approx 26,3 g
Por fim o desvio padrão é

Passo 4

Para o histograma de densidade de frequência, a altura de cada barra é
densidadei = fiamplitude = fi20
Fica então (de cada classe):
(60/20,,160/20,,280/20,,260/20,,160/20,,80/20)=(3,8,14,13,8,4)
No eixo colocamos os intervalos de peso e no eixo esses valores. Depois marcamos uma linha vertical em (a média) e linhas em para indicar o desvio padrão.

Passo 5

Pra dividir em categorias D, C, B e A pelos percentis, fazemos a tabela acumulada:
c|c|c Classe&fi&Acumuladahline 960vdash980&60&60 980vdash1000&160&220 1000vdash1020&280&500 1020vdash1040&260&760 1040vdash1060&160&920 1060vdash1080&80&1000
– 20 % de 1000 = 200ª posição cai em 980–1000. Interpolamos:
x20% = 980 + 200-60160times20 = 980 + 0,875cdot20 = 997,5
– 50 % = 500ª posição fica exatamente no fim da classe 1000–1020, ou seja, x80% = 1040 + 800-760160times20 = 1040 + 0,25cdot20 = 1045 .
– 80 % = 800ª posição está em 1040–1060:

Resposta

(a) Média = g
(b) Desvio padrão = g
© Histograma de densidade com alturas , marcando e
(d) Limites entre categorias:
  • D/C em g
  • C/B em g
  • B/A em g

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