Uma partida de tênis (feminina) é vencida pela primeira jogadora que ganhar 2 sets. Seja X a variável aleatória que representa a sequência de sets vencidos pelas jogadoras A e B. Exemplos de possíveis valores de X
são: AA, ABA e ABB . Seja Y o número de sets jogados numa partida terminada. Claramente, Y só pode assumir os valores 2 e 3 . Supondo que as jogadoras A e B são igualmente competentes neste esporte e que os sets são independentes, calcule:
(b) H(Y);

Passo 1

Beleza, aqui a gente tem uma partida de tênis feminina em que quem ganha 2 sets primeiro vence. A variável aleatória é o número total de sets jogados na partida, que pode ser 2 ou 3. O conteúdo que vamos usar é teoria de probabilidade (para achar e ) e entropia de uma variável discreta (fórmula de ).

Passo 2

Primeiro, vamos achar P(AA) = l(tfrac12r)timesl(tfrac12r) = tfrac14, P(BB) = tfrac14 . Isso significa que alguém ganhou dois sets seguidos: ou a jogadora A fez “AA” ou a B fez “BB”.
  • Cada set é independente e cada jogadora tem probabilidade P(Y=2) = P(AA) + P(BB) = tfrac14 + tfrac14 = tfrac12 de ganhar.
  • Logo,
  • Como são eventos mutuamente exclusivos (não dá pra ter “AA” e “BB” ao mesmo tempo),

Passo 3

Agora, como P(Y=3) = 1 - P(Y=2) = 1 - tfrac12 = tfrac12 só pode ser 2 ou 3, temos

Passo 4

Vamos lembrar a fórmula da entropia de uma variável discreta H(Y) = -sumy P(Y=y),log2 P(Y=y) :
Aqui o somatório vai só em e .

Passo 5

Substituindo os valores que achamos:
H(Y) = -l[P(Y=2)log2 P(Y=2) + P(Y=3)log2 P(Y=3)r] = -l[tfrac12log2tfrac12 + tfrac12log2tfrac12r]
Como H(Y) = tfrac12 + tfrac12 = 1 (bit) , cada termo vira , então

Resposta

bit.

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