A função de transferência de malha aberta para o sistema é
G(s) H(s)=\frac{K(s+1)}{s(s-1)\left(s^{2}+4 s+16\right)} .
Esboce o gráfico do lugar das raízes, seguindo os procedimentos:
  • Indique no plano complexo os pólos e zeros de malha aberta.
  • Determine as assíntotas dos lugares das raízes.
  • Determine os pontos de separação de partida e de chegada.
  • Utilizando o critério de estabilidade de Routh, determine o valor de K para o qual os lugares das raízes cruzam o eixo imaginário.
  • Determine os ângulos de partida dos lugares das raízes dos pólos complexos.

Passo 1

O enunciado dá a função de malha aberta
G(s)H(s)=\frac{K\,(s+1)}{s\,(s-1)\,(s^2+4s+16)}
e pede o esboço do lugar das raízes (root locus). O conteúdo é análise de lugar das raízes: identificamos pólos e zeros, determinamos segmentos no eixo real, assíntotas, pontos de ruptura (breakaway/break-in), cruzamento no eixo imaginário via critério de Routh e ângulos de partida dos pólos complexos.

Passo 2

Identificamos zeros e pólos de malha aberta:
Zero: -1.
Pólos:
s=0,\quad s=1,\quad s^2+4s+16=0\implies s=-2\pm j\,2\sqrt3\approx -2\pm j3.464.
No plano s, marcamos um marcador vazio em -1 e marcadores “×” em 0, 1, -2\pm j3.464.

Passo 3

Como há n=4 pólos e m=1 zero, existem n-m=3 assíntotas.
O centróide \sigma_A é
\sigma_A=\frac{\sum\text{pólos}-\sum\text{zeros}}{n-m} =\frac{(0+1+(-2)+(-2)) -(-1)}{3} =\frac{-3+1}{3}=-\tfrac23.ó
Os ângulos das assíntotas são
\phi_k=\frac{(2k+1)\,180^\circ}{3},\quad k=0,1,2 \quad\Longrightarrow\quad60^\circ,\;180^\circ,\;-60^\circ,
todas passando por \sigma_A=-0.667.

Passo 4

Segmentos reais onde há lugar das raízes: conta-se pólos+zeros à direita de um ponto real s. Encontramos RL em
(-∞,-1) e em (0,1).
Os pontos de ruptura satisfazem
\frac{d}{ds}\Bigl[-\,\frac{s(s-1)(s^2+4s+16)}{s+1}\Bigr]=0
o que leva à equação real
3s^4+10s^3+21s^2+24s-16=0.
Dessa equação, há duas raízes reais:
s\approx0.448\quad(\text{breakaway em }(0,1)), \qquad s\approx-2.27\quad(\text{break‐in em }(-∞,-1)).

Passo 5

O polinômio característico em malha fechada é
1+G(s)H(s)=0\;\Longrightarrow\; s^4+3s^3+12s^2-16s+K(s+1)=0 \;\Longrightarrow\; s^4+3s^3+12s^2+(K-16)s+K=0.
Montamos a tabela de Routh e achamos que a condição de linha s^1 muda de sinal quando
-K^2+59K-832=0 \;\Longrightarrow\; K\approx23.32 \quad\text{e}\quad K\approx35.68.
Portanto, o lugar das raízes cruza o eixo imaginário em K\approx23.3 e K\approx35.7.

Passo 6

Para o pólo s_0=-2+j3.464, aplicamos condição de ângulo
\sum\angle(s_0 - \text{zeros}) -\sum\angle(s_0 - \text{outros pólos}) +\theta_{\rm dep}=180^\circ,ó
calculando
\sum\angle\text{zeros}=106.1^\circ e
\sum\angle\text{pólos restantes}=340.9^\circó. Logo
106.1^\circ-340.9^\circ+\theta_{\rm dep}=180^\circ \;\Longrightarrow\; \theta_{\rm dep}\approx54.8^\circ.
E o pólo conjugado tem \theta_{\rm dep}\approx-54.8^\circ.

Resposta

Zero em -1; pólos em 0,1,-2\pm j3.464.
Assíntotas: centróide em -0.667, ângulos 60^\circ,180^\circ,-60^\circ.
Breakaway em s\approx0.448 e break‐in em s\approx-2.27.
Cruza o eixo imaginário para K\approx23.32 e K\approx35.68.
Ângulos de partida dos pólos complexos: \pm54.8^\circ.

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