A função de transferência de malha aberta para o sistema é
Esboce o gráfico do lugar das raízes, seguindo os procedimentos:
- Indique no plano complexo os pólos e zeros de malha aberta.
- Determine as assíntotas dos lugares das raízes.
- Determine os pontos de separação de partida e de chegada.
- Utilizando o critério de estabilidade de Routh, determine o valor de
para o qual os lugares das raízes cruzam o eixo imaginário.
- Determine os ângulos de partida dos lugares das raízes dos pólos complexos.
Passo 1
O enunciado dá a função de malha aberta
e pede o esboço do lugar das raízes (root locus). O conteúdo é análise de lugar das raízes: identificamos pólos e zeros, determinamos segmentos no eixo real, assíntotas, pontos de ruptura (breakaway/break-in), cruzamento no eixo imaginário via critério de Routh e ângulos de partida dos pólos complexos.
Passo 2
Identificamos zeros e pólos de malha aberta:
Zero: .
Pólos:
Zero:
Pólos:
No plano
, marcamos um marcador vazio em
e marcadores “×” em
,
,
.
Passo 3
Como há
pólos e
zero, existem
assíntotas.
O centróide é
O centróide
Os ângulos das assíntotas são
todas passando por
.
Passo 4
Segmentos reais onde há lugar das raízes: conta-se pólos+zeros à direita de um ponto real
. Encontramos RL em
e em
.
Os pontos de ruptura satisfazem
Os pontos de ruptura satisfazem
o que leva à equação real
Dessa equação, há duas raízes reais:
Passo 5
O polinômio característico em malha fechada é
Montamos a tabela de Routh e achamos que a condição de linha
muda de sinal quando
Portanto, o lugar das raízes cruza o eixo imaginário em
e
.
Passo 6
Para o pólo
, aplicamos condição de ângulo
calculando
e
. Logo
E o pólo conjugado tem
.
Resposta
Zero em
; pólos em
.
Assíntotas: centróide em , ângulos
.
Breakaway em e break‐in em
.
Cruza o eixo imaginário para e
.
Ângulos de partida dos pólos complexos: .
Assíntotas: centróide em
Breakaway em
Cruza o eixo imaginário para
Ângulos de partida dos pólos complexos: