A grua pode ser ajustada para qualquer ângulo 100^circ <= theta <= 90^circ e qualquer extensão 0 <= x <= 5 m. Para uma massa suspensa de 120 kg , determine o momento desenvolvido em A em função de x e theta. Que valores de x e theta desenvolvem o momento máximo possível em A? Calcule esse momento. Desconsidere o tamanho da polia em B.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos diz que uma grua pode ser ajustada para um ângulo entre 100^circ e 90^circ e para uma extensão entre 0 e 5 metros. Temos uma massa de 120 kg suspensa e precisamos descobrir o momento (ou torque) que essa massa gera no ponto A, dependendo da extensão x e do ângulo theta. Depois, vamos encontrar quais valores de x e theta fazem esse momento ser o maior possível e, por fim, calcular esse momento máximo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é momento (ou torque). O momento é uma força que tende a girar um objeto em torno de um ponto. A fórmula para calcular o momento é:
M = F cdot d cdot sin(theta)
Onde:
  • M é o momento,
  • F é a força aplicada,
  • d é a distância (ou braço de alavanca) entre o ponto de aplicação da força e o ponto de rotação,
  • theta é o ângulo entre a força e a alavanca.

Passo 3

No nosso caso, a força F é o peso da massa suspensa. O peso pode ser calculado pela fórmula:
P = m cdot g
Onde:
  • m = 120 , kg é a massa,
  • g = 9,8 , m/s^2 é a aceleração da gravidade.
Então,
P = 120 cdot 9,8 = 1176 , N

Passo 4

A distância d aqui é a extensão x da grua. Assim, podemos reescrever a fórmula do momento como:
M = P cdot x cdot sin(theta)
Substituindo P:
M = 1176 cdot x cdot sin(theta)

Passo 5

Agora, queremos expressar o momento M em função de x e theta:
M(x, theta) = 1176 cdot x cdot sin(theta)

Passo 6

Para encontrar os valores de x e theta que maximizam o momento M, vamos analisar os limites das variáveis:
  • 0 <= x <= 5 , m
  • 90^circ <= theta <= 100^circ
A função sin(theta) atinge seu máximo quando theta = 90^circ, pois sin(90^circ) = 1. Conforme theta aumenta de 90° para 100°, o valor de sin(theta) diminui.
Além disso, x atinge seu máximo em 5 metros.

Passo 7

Portanto, para maximizar M, precisamos que x e sin(theta) sejam máximos dentro dos seus limites. Isso ocorre quando:
  • x = 5 , m
  • theta = 90^circ

Passo 8

Agora, vamos calcular o momento máximo:
Mmáximo = 1176 cdot 5 cdot sin(90^circ) á
Sabemos que sin(90^circ) = 1, então:
Mmáximo = 1176 cdot 5 cdot 1 = 5880 , N·m á

Resposta

O momento desenvolvido em A em função de x e theta é $ M(x, \theta) = 1176 \cdot x \cdot \sin(\theta) $ N·m. Os valores que desenvolvem o momento máximo são M(x, theta) = 1176 cdot x cdot sin(theta) e x = 5 , m, resultando em um momento máximo de theta = 90^circ.

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