A grua pode ser ajustada para qualquer ângulo
e qualquer extensão
. Para uma massa suspensa de 120 kg , determine o momento desenvolvido em
em função de
e
. Que valores de
e
desenvolvem o momento máximo possível em
? Calcule esse momento. Desconsidere o tamanho da polia em
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos diz que uma grua pode ser ajustada para um ângulo entre
e
e para uma extensão entre 0 e 5 metros. Temos uma massa de 120 kg suspensa e precisamos descobrir o momento (ou torque) que essa massa gera no ponto A, dependendo da extensão
e do ângulo
. Depois, vamos encontrar quais valores de
e
fazem esse momento ser o maior possível e, por fim, calcular esse momento máximo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é momento (ou torque). O momento é uma força que tende a girar um objeto em torno de um ponto. A fórmula para calcular o momento é:
Onde:
-
é o momento, -
é a força aplicada, -
é a distância (ou braço de alavanca) entre o ponto de aplicação da força e o ponto de rotação, -
é o ângulo entre a força e a alavanca.
Passo 3
No nosso caso, a força
é o peso da massa suspensa. O peso pode ser calculado pela fórmula:
Onde:
-
é a massa, -
é a aceleração da gravidade.
Então,
Passo 4
A distância
aqui é a extensão
da grua. Assim, podemos reescrever a fórmula do momento como:
Substituindo
:
Passo 5
Agora, queremos expressar o momento
em função de
e
:
Passo 6
Para encontrar os valores de
e
que maximizam o momento
, vamos analisar os limites das variáveis:
A função
atinge seu máximo quando
, pois
. Conforme
aumenta de 90° para 100°, o valor de
diminui.
Além disso,
atinge seu máximo em 5 metros.
Passo 7
Portanto, para maximizar
, precisamos que
e
sejam máximos dentro dos seus limites. Isso ocorre quando:
Passo 8
Agora, vamos calcular o momento máximo:
Sabemos que
, então:
Resposta
O momento desenvolvido em
em função de
e
é $ M(x, \theta) = 1176 \cdot x \cdot \sin(\theta) $ N·m. Os valores que desenvolvem o momento máximo são
e
, resultando em um momento máximo de
.