Os Grunters jogam contra os Screamers 4 vezes. Os Grunters são muito melhores e têm probabilidade de 75 \% de vencer qualquer jogo. Qual é a probabilidade de que os Grunters vençam os 4 jogos?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma probabilidade final:
  • Os Grunters jogam contra os Screamers 4 vezes.
  • A probabilidade de os Grunters vencerem qualquer jogo é 75\%.
  • A pergunta: qual é a probabilidade de que os Grunters vençam os 4 jogos?

Passo 2

Explicação da ideia que vamos usar (passo-a-passo didático):
  • Quando eventos são independentes, a probabilidade de todos ocorrerem é o produto das probabilidades individuais. Em símbolos:
\Pr(A\text{ e }B)=\Pr(A)\Pr(B)
para dois eventos independentes A e B. Isso se estende a mais eventos: para eventos independentes E_1,E_2,\dots,E_n,
\Pr\bigl(E_1\text{ e }E_2\text{ e }\cdots\text{ e }E_n\bigr)=\Pr(E_1)\Pr(E_2)\cdots\Pr(E_n).
  • Aqui cada jogo pode ser tratado como um evento com a mesma probabilidade de vitória, e assumimos independência entre os jogos (resultado de um jogo não afeta os outros). Então basta multiplicar a probabilidade de vencer em cada jogo, repetida 4 vezes.

Passo 3

Converter a probabilidade dada para forma conveniente:
  • 75\% = 0{,}75.
  • É mais simples trabalhar como fração: 0{,}75=\dfrac{75}{100}=\dfrac{3}{4}.
  • Assim a probabilidade de vencer um jogo é \dfrac{3}{4}.

Passo 4

Aplicar a regra do produto para os 4 jogos:
  • A probabilidade de vencer os 4 jogos é
\left(\dfrac{3}{4}\right)\left(\dfrac{3}{4}\right)\left(\dfrac{3}{4}\right)\left(\dfrac{3}{4}\right)=\left(\dfrac{3}{4}\right)^4.
  • Calculemos passo a passo em forma de frações:
\left(\dfrac{3}{4}\right)^2=\dfrac{3\cdot3}{4\cdot4}=\dfrac{9}{16},
\left(\dfrac{3}{4}\right)^3=\dfrac{9}{16}\cdot\dfrac{3}{4}=\dfrac{27}{64},
\left(\dfrac{3}{4}\right)^4=\dfrac{27}{64}\cdot\dfrac{3}{4}=\dfrac{81}{256}.

Passo 5

Converter para decimal e porcentagem (se quiser interpretar intuitivamente):
  • Uma forma prática: note que \left(\dfrac{3}{4}\right)^4=\left(\dfrac{9}{16}\right)^2 e \dfrac{9}{16}=0{,}5625. Então
\left(\dfrac{3}{4}\right)^4=\left(0{,}5625\right)^2=0{,}31640625.
  • Em porcentagem isso é 0{,}31640625\times100=31{,}640625\%.

Passo 6

Interpretação curta e ânimo: a chance de varrer os 4 jogos não é pequena, mas também não é garantida — cerca de 31{,}6\%. Vai dar tudo certo nos estudos; faz calma e repete esse tipo de raciocínio com outros exemplos para fixar!

Resposta

\dfrac{81}{256}\approx0{,}31640625\\ (\;31{,}640625\%\;)

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