Num grupo de 99 esportistas, 40 jogam vôlei, 20 jogam vôlei e xadrez, 22 jogam xadrez e tênis, 18 jogam vôlei e tênis, 11 jogam as três modalidades. O número de pessoas que jogam xadrez é igual ao número de pessoas que jogam tênis. Pergunta-se:
b) quantos jogam xadrez ou tênis e não jogam vôlei?
b) quantos jogam xadrez ou tênis e não jogam vôlei?
Passo 1
Estamos com três conjuntos: jogadores de vôlei (V), xadrez (X) e tênis (T). Sabemos que |V|=40, |V∩X|=20, |X∩T|=22, |V∩T|=18, |V∩X∩T|=11, o total |V∪X∪T|=99 e ainda |X|=|T|. Queremos quantos jogam xadrez ou tênis e não jogam vôlei, isto é |(X∪T)\V|. Vamos usar diagrama de Venn e o princípio da inclusão-exclusão.
Passo 2
Primeiro, aplicamos o princípio da inclusão-exclusão ao total do grupo:
Substituindo os valores conhecidos:
Fazendo as contas no lado direito, temos 40 - 20 - 18 - 22 + 11 = -9, logo:
Passo 3
Como |X| = |T|, basta dividir por 2 para achar cada:
Passo 4
Agora calculamos o tamanho da união X∪T:
Passo 5
Em seguida, encontramos quantos desse grupo também jogam vôlei, ou seja (X∪T)∩V. Pelo princípio da inclusão-exclusão em V∩(X∪T):
Passo 6
Por fim, o número de pessoas que jogam xadrez ou tênis e não jogam vôlei é:
Resposta
59