Num grupo de 99 esportistas, 40 jogam vôlei, 20 jogam vôlei e xadrez, 22 jogam xadrez e tênis, 18 jogam vôlei e tênis, 11 jogam as três modalidades. O número de pessoas que jogam xadrez é igual ao número de pessoas que jogam tênis. Pergunta-se:
b) quantos jogam xadrez ou tênis e não jogam vôlei?

Passo 1

Estamos com três conjuntos: jogadores de vôlei (V), xadrez (X) e tênis (T). Sabemos que |V|=40, |V∩X|=20, |X∩T|=22, |V∩T|=18, |V∩X∩T|=11, o total |V∪X∪T|=99 e ainda |X|=|T|. Queremos quantos jogam xadrez ou tênis e não jogam vôlei, isto é |(X∪T)\V|. Vamos usar diagrama de Venn e o princípio da inclusão-exclusão.

Passo 2

Primeiro, aplicamos o princípio da inclusão-exclusão ao total do grupo:
|Vcup Xcup T| = |V| + |X| + |T| - |Vcap X| - |Vcap T| - |Xcap T| + |Vcap Xcap T|
Substituindo os valores conhecidos:
99 = 40 + |X| + |T| - 20 - 18 - 22 + 11
Fazendo as contas no lado direito, temos 40 - 20 - 18 - 22 + 11 = -9, logo:
99 = |X| + |T| - 9 ,Rightarrow, |X| + |T| = 108

Passo 3

Como |X| = |T|, basta dividir por 2 para achar cada:
2|X| = 108 ,Rightarrow, |X| = 54 e |T| = 54

Passo 4

Agora calculamos o tamanho da união X∪T:
|Xcup T| = |X| + |T| - |Xcap T| = 54 + 54 - 22 = 86

Passo 5

Em seguida, encontramos quantos desse grupo também jogam vôlei, ou seja (X∪T)∩V. Pelo princípio da inclusão-exclusão em V∩(X∪T):
|(Xcup T)cap V| = |Vcap X| + |Vcap T| - |Vcap Xcap T| = 20 + 18 - 11 = 27

Passo 6

Por fim, o número de pessoas que jogam xadrez ou tênis e não jogam vôlei é:
|(Xcup T) setminus V| = |Xcup T| - |(Xcup T)cap V| = 86 - 27 = 59

Resposta

59

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