Um grupo consta de 12 pessoas, das quais 5 matemáticos. De quantas formas podemos formar comissões de 6 pessoas de modo que:
Pelo menos um membro da comissão seja matemático?

Passo 1

O enunciado diz que há um grupo de 12 pessoas, das quais 5 são matemáticos, e queremos formar comissões de 6 pessoas de modo que pelo menos um seja matemático. O conteúdo aqui é combinação simples e o princípio do complemento: vamos contar o total de comissões e subtrair as comissões sem nenhum matemático.

Passo 2

Primeiro, vamos contar o número total de comissões de 6 pessoas sem restrição alguma. Usamos a combinação
\binom{12}{6}
que dá todas as maneiras de escolher 6 indivíduos dentre 12.

Passo 3

Em seguida, contamos as comissões que não têm nenhum matemático. Nesse caso, escolhemos 6 pessoas entre as 7 não matemáticas, pois 12 - 5 = 7. O número de formas é
\binom{7}{6}.

Passo 4

Pelo princípio do complemento, o número de comissões com pelo menos um matemático é a diferença entre o total de comissões e as comissões sem matemáticos:
\binom{12}{6} \;-\;\binom{7}{6}.
Calculando,
\binom{12}{6} = 924, \qquad \binom{7}{6} = 7,
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924 - 7 = 917.

Resposta

917

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