(UFMA) O quarto termo no desenvolvimento de \left(x^{2}+\frac{1}{x}\right)^{6} é:
a) 20 x^{3}
b) 12 x^{2}
c) \frac{6}{x^{2}}
d) \frac{15}{x^{6}}
e) \frac{12}{x^{3}}

Passo 1

O enunciado pede o quarto termo no desenvolvimento de \bigl(x^{2} + \tfrac{1}{x}\bigr)^{6}. Vamos usar o Teorema do Binômio de Newton, que dá o termo geral de (a+b)^{n}.

Passo 2

Pelo Teorema do Binômio de Newton, o (k+1)-ésimo termo de (a+b)^{n} é
T_{k+1} = \binom{n}{k}\,a^{\,n-k}\,b^{\,k}.
Aqui temos a = x^{2}, b = \tfrac{1}{x} e n=6, logo
T_{k+1} = \binom{6}{k}\,(x^{2})^{6-k}\Bigl(\tfrac{1}{x}\Bigr)^{k}.

Passo 3

Para obter o quarto termo, igualamos k+1=4, ou seja, k=3.

Passo 4

Calculando cada parte:
\binom{6}{3} = 20,
(x^{2})^{6-3} = (x^{2})^{3} = x^{6},
\Bigl(\tfrac{1}{x}\Bigr)^{3} = x^{-3}.
Multiplicando estes fatores, obtemos
T_{4} = 20\,x^{6}\,x^{-3} = 20\,x^{3}.

Resposta

a) 20x^{3}

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