GRUPO B:

Se deseja destilar uma mistura líquida de benzeno-tolueno em uma torre fracionada a 101,3 \mathrm{kPa} de pressão.A alimentação de 1000 \mathrm{kgmol} / \mathrm{h} é líquida e contêm 25 \% \mathrm{~mol} de benzeno e 75 \% \mathrm{~mol} de tolueno,e entra a 327,6 \mathrm{~K} .Também se deseja obter um destilado que contenha 85 \% \mathrm{~mol} de benzeno e um resíduo que contenha 15 \% \mathrm{~mol} de benzeno.A relação de refluxo é 4: 1 .Calcule o kg por hora de destilado,o kg mol por hora de resíduo e o número de pratos teóricos requeridos.

Passo 1

Vou organizar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados fornecidos:
    • Alimentação: F=1000\\ \mathrm{kmol/h} (fase líquida).
    • Composição da alimentação (benzeno = componente leve, chamarei de B): z_F=0{,}25 (fração molar de benzeno), logo 1-z_F=0{,}75 é tolueno.
    • Temperatura da alimentação: 327{,}6\\ \mathrm{K} (informação usada para classificar o estado da alimentação; é líquida).
    • Pressão da coluna: 101{,}3\\ \mathrm{kPa}.
    • Destilado (topo) deve ter x_D=0{,}85 (fração molar de benzeno).
    • Resíduo (fundo) deve ter x_W=0{,}15 (fração molar de benzeno).
    • Relação de refluxo dada: R = 4 (isto é, razão L/D=4).
  • O que o enunciado pede:
    1. Calcular o fluxo de destilado em kg por hora (massa do destilado).
    2. Calcular o fluxo de resíduo em \mathrm{kmol/h} (fluxo molar do fundo).
    3. Calcular o número de pratos teóricos requeridos para obter essa separação com R=4.
Observações úteis que já ficam definidas (não vou começar a resolver ainda):
  • O balanço de matéria total e do componente leve (benzeno) vão permitir achar D e W em \mathrm{kmol/h}.
  • Para passar de \mathrm{kmol/h} para \mathrm{kg/h} preciso das massas molares: \mathrm{MM_{Benz}}=78{,}11\\ \mathrm{kg/kmol} e \mathrm{MM_{Tol}}=92{,}14\\ \mathrm{kg/kmol}.
  • Para o número de pratos: vou usar o método de McCabe–Thiele com a aproximação de volatilidade constante. Para obter a curva de equilíbrio (e portanto a volatilidade relativa \alpha) vou usar a lei de Raoult com pressões de vapor estimadas pelas constantes de Antoine; depois construo as retas de operação (rectifying e stripping), faço os passos de McCabe–Thiele e conto os pratos teóricos. Vou explicar cada conceito e cada fórmula quando for usá-las.

Passo 2

Balanços para achar D (destilado, em \mathrm{kmol/h}) e W (resíduo, em \mathrm{kmol/h}).
Primeiro as equações fundamentais (explico o porquê):
  • Balanço total: F = D + W.Isto é só conservação da quantidade de matéria molar.
  • Balanço do componente leve (benzeno): F z_F = D x_D + W x_W.Porque a quantidade molar de benzeno que entra deve sair em destilado e em resíduo.
Agora substituo os números (tudo em \mathrm{kmol/h}):
1000 = D + W,
1000\cdot 0{,}25 = 250 = 0{,}85\,D + 0{,}15\,W.
Substituo W = 1000 - D na equação do benzeno:
250 = 0{,}85D + 0{,}15(1000 - D).
Desenvolvendo:
250 = 0{,}85D + 150 - 0{,}15D = 0{,}70D + 150.
Isolando D:
0{,}70D = 100 \quad\Rightarrow\quad D = \frac{100}{0{,}70} = 142{,}857\\ \mathrm{kmol/h}.
Logo
W = 1000 - 142{,}857 = 857{,}143\\ \mathrm{kmol/h}.

Passo 3

Passo para obter a massa do destilado (kg/h). Explico como converter:
  • A massa molar média do destilado é a média ponderada pelas frações molares:
\mathrm{MM}_D = x_D\cdot\mathrm{MM_{Benz}} + (1-x_D)\cdot\mathrm{MM_{Tol}}.
Substituindo:
\mathrm{MM}_D = 0{,}85\cdot78{,}11 + 0{,}15\cdot92{,}14 = 80{,}2145\\ \mathrm{kg/kmol}.
  • Massa do destilado:
\dot m_D = D\cdot \mathrm{MM}_D = 142{,}857\\ \mathrm{kmol/h}\times 80{,}2145\\ \mathrm{kg/kmol}.
Calculo (faço passo a passo sem pular):
\dot m_D = \frac{1000}{7}\times 80{,}2145 = \frac{80{,}214{,}5}{7} \approx 11459{,}21\\ \mathrm{kg/h}.
Assim o destilado tem aproximadamente 11459{,}2\\ \mathrm{kg/h}.

Passo 4

Planejamento da etapa para calcular o número de pratos teóricos. Explico a ideia (pessoa sem prática: passo a passo do que vem a seguir).
  • Vou usar McCabe–Thiele, que é um método gráfico (mas pode-se aplicar numericamente): precisamos da curva de equilíbrio y = f(x) (fração molar do vapor em função da fração molar do líquido), e das retas de operação:
    • Reta de operação na seção de retificação (acima do ponto de alimentação): y = \frac{R}{R+1}\,x + \frac{x_D}{R+1}.Aqui R/(R+1) é a inclinação e x_D/(R+1) é a ordenada na origem da reta (quando expressa em y vs x).
    • No ponto de alimentação precisamos do valor do q-line. Como a alimentação é líquida (sub-resfriada ou líquida), o coeficiente q (fração molar na alimentação que é líquida) é q=1. Para q=1 o q-line é vertical na abscissa x=z_F.
    • A reta de operação na seção de estripagem (abaixo do ponto de alimentação) passa pelo ponto de alimentação (interseção da q-line com a reta de retificação) e também pelo ponto de equilíbrio no fundo (reboiler), então podemos determiná-la ligando esses dois pontos.
  • Para a curva de equilíbrio vou assumir comportamento ideal (mistura ideal) e usar a lei de Raoult com pressões de saturação obtidas pelas equações de Antoine. Vou estimar as pressões de vapor dos componentes na faixa de temperaturas da coluna (entre temperatura do topo e do fundo), encontrar uma volatilidade relativa média \alpha e usar a forma analítica da curva de equilíbrio para volatilidade constante:
    y = \frac{\alpha x}{1 + (\alpha - 1)x}.
    Esta forma é derivada da hipótese de \;K_i = P_i^{\text{sat}}/P\; e de \alpha = K_B/K_T = P_B^{\text{sat}}/P_T^{\text{sat}} constante.
  • Em seguida vou fazer o procedimento de “escadas” de McCabe–Thiele numericamente (passos horizontais até a curva de equilíbrio e verticais até a reta de operação) e contar o número de escalões (cada par horizontal+vertical corresponde a um prato teórico). Vou explicar e mostrar todos os cálculos.

Passo 5

Determinação da volatilidade relativa \alpha (explico a física e a escolha do ponto de cálculo).
  • Conceito: para uma mistura ideal e pressão total P fixa, o coeficiente de equilíbrio (K) de cada componente é aproximadamente K_i \approx P_i^{\text{sat}}(T)/P. A volatilidade relativa da substância leve (benzeno, B) em relação à substância pesada (tolueno, T) é
    \alpha = \frac{K_B}{K_T} \approx \frac{P_B^{\text{sat}}(T)}{P_T^{\text{sat}}(T)}.
    A \alpha varia com a temperatura, então escolhe-se um valor médio para toda a coluna (prática comum).
  • Vou estimar as temperaturas de ebulição aproximadas do topo e do fundo resolvendo a equação de bolha para as composições x_D e x_W à pressão P=101{,}3\\ \mathrm{kPa} usando a equação de Antoine para P_i^{\text{sat}}(T). Uso constantes de Antoine (forma para P em mmHg e T em °C):
    Constantes usadas (valores usuais):
    • Benzeno: A=6{,}90565,\; B=1211{,}033,\; C=220{,}790.
    • Tolueno: A=6{,}95464,\; B=1344{,}8,\; C=219{,}48.
    A equação (em mmHg) é:
    \log_{10} P_i^{\text{sat}}(\,{\circ\mathrm{C}}\,) = A_i - \frac{B_i}{C_i + T_{^\circ\mathrm{C}}}.
    Converto depois para kPa com 1\\ \mathrm{mmHg}=0{,}133322\\ \mathrm{kPa}.
  • Para x_D=0{,}85 (topo) resolvi numericamente a condição de bolha
    P = x_D P_B^{\text{sat}}(T_{\text{top}}) + (1-x_D) P_T^{\text{sat}}(T_{\text{top}}),
    e encontrei T_{\text{top}}\approx 83{,}4^\circ\mathrm{C} (aprox.\ 356{,}6\\ \mathrm{K}).
  • Para x_W=0{,}15 (fundo) resolvi similarmente e encontrei T_{\text{bot}}\approx 104{,}1^\circ\mathrm{C} (aprox.\ 377{,}2\\ \mathrm{K}).
  • Usei então a temperatura média aproximada da coluna
    T_{\text{média}} \approx \frac{T_{\text{top}} + T_{\text{bot}}}{2} \approx 93{,}75^\circ\mathrm{C}.é
    Nesse T calculei P_B^{\text{sat}} e P_T^{\text{sat}} pelas Antoines e obtive:
    P_B^{\text{sat}}(T_{\text{m}})\approx 151{,}6\\ \mathrm{kPa},\qquad P_T^{\text{sat}}(T_{\text{m}})\approx 60{,}94\\ \mathrm{kPa}.
    Assim a volatilidade relativa média é aproximadamente
    \alpha \approx \frac{151{,}6}{60{,}94} \approx 2{,}49.
Nota: expliquei a escolha de T_{\text{média}}é porque \alpha varia com T; essa média é uma prática típica para estimativa e funciona bem para McCabe–Thiele.

Passo 6

Escrever a expressão analítica da curva de equilíbrio para volatilidade constante e verificar alguns pontos.
  • Para \alpha constante a relação equilibrial (mistura ideal) entre a fração molar de benzeno no vapor y e no líquido x é:
y = \frac{\alpha x}{1 + (\alpha - 1)x}.
  • Com \alpha=2{,}488 (arredondei 2{,}49 para cálculo 2{,}488 conforme valores intermediários), esta curva fornece y para qualquer x. Também a inversa (necessária para o método de escalas) é:
x = \frac{y}{\alpha - (\alpha - 1)y}.
Essa fórmula permite passar de uma coordenada y (vapor) para a correspondente x (líquido) no equilíbrio — útil para os passos horizontais no McCabe–Thiele.

Passo 7

Definir a reta de operação na seção de retificação (acima do ponto de alimentação).
  • A reta de operação na seção de retificação tem a forma:
y = \frac{R}{R+1}\,x + \frac{x_D}{R+1}.
  • Com R=4 e x_D=0{,}85 temos:
\frac{R}{R+1}=\frac{4}{5}=0{,}8,\qquad \frac{x_D}{R+1}=\frac{0{,}85}{5}=0{,}17.
Logo a reta de retificação é:
y = 0{,}8\,x + 0{,}17.

Passo 8

Determinar o ponto de alimentação (interseção da reta de retificação com a q-line) e construir a reta de operação de estripagem.
  • Como a alimentação é líquida, q=1. Para q=1 a q-line é vertical na abscissa x=z_F=0{,}25.
  • O ponto de interseção da rectifying line com a q-line é:
x_{\text{feed}} = z_F = 0{,}25,\qquad y_{\text{feed}} = 0{,}8\cdot 0{,}25 + 0{,}17 = 0{,}37.
  • A reta de estripagem passa por dois pontos conhecidos:
    • o ponto de alimentação (0{,}25,\;0{,}37),
    • e o ponto do reboiler (composição do vapor em equilíbrio com o líquido x_W=0{,}15), cujo y de equilíbrio é: y_{\text{reboiler}} = \frac{\alpha x_W}{1 + (\alpha - 1)x_W}.
    • Calculo y_{\text{reboiler}} com x_W=0{,}15 e \alpha=2{,}488: y_{\text{reboiler}}=\frac{2{,}488\cdot 0{,}15}{1 + 1{,}488\cdot 0{,}15} =\frac{0{,}3732}{1{,}2232}\approx 0{,}3052.
  • A reta de estripagem que liga (x_W,y_{\text{reboiler}})=(0{,}15,\;0{,}3052) a (0{,}25,\;0{,}37) tem inclinação e intercepto: \text{slope} = \frac{0{,}37 - 0{,}3052}{0{,}25 - 0{,}15} = \frac{0{,}0648}{0{,}1} = 0{,}648,
\text{intercept} = y - \text{slope}\cdot x = 0{,}3052 - 0{,}648\cdot 0{,}15 \approx 0{,}208.
Portanto a reta de estripagem é aproximadamente:
y = 0{,}648\,x + 0{,}208.

Passo 9

Explicar o procedimento de McCabe–Thiele e iniciar os passos numéricos (escadas) para contar pratos teóricos.
  • Recapitulação do procedimento:
    1. Inicia-se no ponto (x_D,y_D)=(0{,}85,0{,}85).
    2. Fazer um movimento horizontal até a curva de equilíbrio (isto fornece o x do líquido na fase abaixo do estágio).
    3. Do ponto encontrado, mover verticalmente até a reta de operação correspondente (retificação enquanto x>z_F, estripagem quando já passou pelo ponto de alimentação).
    4. Repetir os movimentos horizontal e vertical — cada par (horizontal+vertical) corresponde a um prato teórico.
    5. Ao atingir a linha vertical x=z_F troca-se da reta de retificação para a reta de estripagem e continua-se até atingir x_W.
  • Fórmulas usadas repetidamente:
    • De y para x em equilíbrio: x = \frac{y}{\alpha - (\alpha - 1)y}.
    • Reta de retificação: y = 0{,}8x + 0{,}17.
    • Reta de estripagem: y = 0{,}648x + 0{,}208.
Agora faço os cálculos passo-a-passo (vou numerar cada par de movimentos e mostrar os números; cada par dá 1 prato teórico).
Passos na seção de retificação (acima da alimentação):
  • Ponto inicial: (x_0,y_0)=(0{,}85,0{,}85).
  1. Horizontal até equilíbrio com y=0{,}85:
x = \frac{0{,}85}{2{,}488 - 1{,}488\cdot 0{,}85} = \frac{0{,}85}{2{,}488 - 1{,}2648} = \frac{0{,}85}{1{,}2232}\approx 0{,}6953.
Vertical até reta de retificação:
y = 0{,}8\cdot 0{,}6953 + 0{,}17 \approx 0{,}7262.
(1º prato concluído.)
  1. Horizontal com y=0{,}7262:
x \approx \frac{0{,}7262}{2{,}488 - 1{,}488\cdot0{,}7262} \approx 0{,}5160.
Vertical para retificação:
y = 0{,}8\cdot 0{,}5160 + 0{,}17 \approx 0{,}5828.
(2º prato.)
  1. Horizontal com y=0{,}5828:
x \approx \frac{0{,}5828}{2{,}488 - 1{,}488\cdot0{,}5828} \approx 0{,}3596.
Vertical para retificação:
y = 0{,}8\cdot 0{,}3596 + 0{,}17 \approx 0{,}4577.
(3º prato.)
  1. Horizontal com y=0{,}4577:
x \approx \frac{0{,}4577}{2{,}488 - 1{,}488\cdot0{,}4577} \approx 0{,}2533.
Vertical para retificação:
y = 0{,}8\cdot 0{,}2533 + 0{,}17 \approx 0{,}3726.
(4º prato.) Observação: neste ponto x\approx 0{,}2533 já está muito próximo de x=z_F=0{,}25; portanto estamos praticamente no nível da alimentação. Troca-se para a reta de estripagem no ponto de alimentação (0{,}25,0{,}37).

Passo 10

Continuar os passos na seção de estripagem (abaixo da alimentação) até atingir x_W=0{,}15.
Parto do ponto de alimentação exato (x,y)=(0{,}25,0{,}37).
Agora repito pares horizontal (até equilíbrio) e vertical (até reta de estripagem):
  1. Horizontal com y=0{,}37:
x = \frac{0{,}37}{2{,}488 - 1{,}488\cdot0{,}37} \approx 0{,}19098.
Vertical para estripagem:
y = 0{,}648\cdot 0{,}19098 + 0{,}208 \approx 0{,}33168.
(5º prato total.)
  1. Horizontal com y=0{,}33168:
x \approx \frac{0{,}33168}{2{,}488 - 1{,}488\cdot0{,}33168} \approx 0{,}16641.
Vertical:
y = 0{,}648\cdot 0{,}16641 + 0{,}208 \approx 0{,}31586.
(6º prato.)
  1. Horizontal com y=0{,}31586:
x \approx 0{,}15661, \qquad y \approx 0{,}30950.
(7º prato.)
  1. Horizontal com y=0{,}30950:
x \approx 0{,}15266, \qquad y \approx 0{,}30696.
(8º prato.)
  1. Horizontal com y=0{,}30696:
x \approx 0{,}15101, \qquad y \approx 0{,}30585.
(9º prato.)
  1. Horizontal com y=0{,}30585:
x \approx 0{,}15043, \qquad y \approx 0{,}30508.
(10º prato.)
  1. Horizontal com y=0{,}30508:
x \approx 0{,}15005, \qquad y \approx 0{,}30523.
(11º prato.)
Aqui x já praticamente alcançou x_W=0{,}15 (ficou \approx 0{,}15005), por isso já atingimos a composição desejada no fundo. Um passo adicional daria apenas uma correção minúscula.

Passo 11

Contagem final de pratos teóricos e interpretação do resultado.
  • Contando os pares horizontal+vertical feitos desde o topo até o fundo obtivemos, na prática, 4 pratos na seção de retificação (acima do ponto de alimentação) e cerca de 7 pratos na seção de estripagem (abaixo do ponto de alimentação), totalizando aproximadamente 11 pratos teóricos.
  • Observação de consistência:
    • O número mínimo de pratos teóricos em refluxo total (fórmula de Fenske) dá um valor menor (na ordem de 3{,}8 para esta separação com a \alpha estimada), o que é coerente: com reflux finito ( R=4) é necessário bem mais pratos que o mínimo teórico.
    • A contagem por McCabe–Thiele que fiz numericamente corresponde ao procedimento usual e inclui o prato do reboiler na contagem final (pratos teóricos totais da coluna).

Resposta

\dot m_D \approx 11459{,}2\\ \mathrm{kg/h}
W \approx 857{,}143\\ \mathrm{kmol/h}
N_{\text{teóricos}} \approx 11\\ \text{pratos (aprox.)}ó

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