GRUPO A:

Deseja-se destilar uma mistura líquida de álcool-água em uma torre fracionada a 101,3 \mathrm{kPa} de pressão.A alimentação de 600 \mathrm{kgmol} / \mathrm{h} é líquida e contêm 25 \% mol de álcool e 75 \% \mathrm{~mol} de água,e entra a 330,6 \mathrm{~K} .Também se deseja obter um destilado que contenha 85 \% \mathrm{~mol} de álcool e um resíduo que contenha 90 \% \mathrm{~mol} de água.A relação de refluxo é 2: 1 .Calcule o kg por hora de destilado,o kg mol por hora de resíduo e o número de pratos teóricos requeridos.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (peguei todos os números do enunciado).
  • Dados fornecidos:
    • Alimentação (molar): \displaystyle F=600\\ \mathrm{kgmol/h}.
    • Composição molar da alimentação (álcool = componente mais volátil): \displaystyle z_F=0{,}25 (álcool) e 0{,}75 (água).
    • A alimentação é líquida e entra a \displaystyle 330{,}6\\ \mathrm{K} (isto nos diz que a alimentação está como líquido saturado ou sub-resfriada; o enunciado diz “é líquida”, então adotamos que a fração de líquido na alimentação corresponde a q=1 no método de separação).
    • Pressão do sistema: \displaystyle 101{,}3\\ \mathrm{kPa} (pressão atmosférica).
    • Especificações dos produtos:
      • Destilado com \displaystyle x_D=0{,}85 (fração molar de álcool no destilado).
      • Resíduo com \displaystyle x_B tal que o resíduo contém 90\% mol de água, ou seja, fração molar de álcool no resíduo \displaystyle x_B=0{,}10.
    • Relação de refluxo dada: 2:1. Interpreto isso como razão líquido de refluxo para destilado \displaystyle L:D=2, portanto o índice de refluxo (reflux ratio) é \displaystyle R=\dfrac{L}{D}=2.
  • O enunciado pede:
    1. Calcular os quilogramas por hora de destilado (fluxo mássico do destilado).
    2. Calcular os \mathrm{kgmol/h} de resíduo (fluxo molar do resíduo).
    3. Calcular o número de pratos teóricos requeridos para essa separação com a razão de refluxo dada.
Observação importante (antecipando passo posterior): para determinar o número de pratos teóricos a partir de uma razão de refluxo é necessário conhecer o equilíbrio vapor–líquido (VLE) ou, de forma simplificada, a volatilidade relativa média \alpha (ou a curva y vs x). Se esses dados não forem fornecidos, não é possível calcular numericamente o número de pratos teóricos reais — apenas podemos explicar o método e, se desejar, fazer um exemplo assumindo um valor de \alpha. Vou primeiro resolver as contas de balanço que dependem somente das composições dadas.

Passo 2

Balanços molares (método direto, passo a passo).
Defino as incógnitas molares:
  • \displaystyle D = fluxo molar do destilado ( \mathrm{kgmol/h}).
  • \displaystyle B = fluxo molar do resíduo ( \mathrm{kgmol/h}).
As equações de balanço são:
  1. Balanço total:
F = D + B.
  1. Balanço do componente álcool (componente leve):
F z_F = D x_D + B x_B.
Agora substituo os números conhecidos:
600 = D + B,
600\cdot 0{,}25 = D\cdot 0{,}85 + B\cdot 0{,}10.
Calculo o lado esquerdo do balanço de álcool:
600\cdot 0{,}25 = 150\\ \mathrm{kgmol/h}.
Substituo B = 600 - D na equação do componente:
150 = 0{,}85D + 0{,}10(600 - D).
Desenvolvo:
150 = 0{,}85D + 60 - 0{,}10D = (0{,}85 - 0{,}10)D + 60 = 0{,}75D + 60.
Isolo D:
0{,}75D = 150 - 60 = 90 \quad\Rightarrow\quad D = \frac{90}{0{,}75} = 120\\ \mathrm{kgmol/h}.
Então
B = 600 - D = 600 - 120 = 480\\ \mathrm{kgmol/h}.
Comentários didáticos rápidos: isto é só álgebra linear com as duas equações de conservação (total e componente). Sempre que a alimentação e as especificações de produto são dadas em frações molares e o fluxo em \mathrm{kgmol/h}, esse cálculo fornece diretamente os fluxos molares de produto.

Passo 3

Conversão para massa (kg/h) do destilado — passo a passo com as massas molares.
O enunciado pede especificamente o fluxo mássico (kg/h) do destilado. Para converter de \mathrm{kgmol/h} para \mathrm{kg/h} precisamos da massa molar média do destilado.
  • Massas molares (valores usuais):
    • Etanol (álcool): \displaystyle M_{\text{alc}}=46{,}07\\ \mathrm{kg/kmol}.
    • Água: \displaystyle M_{\text{H}_2\text{O}}=18{,}015\\ \mathrm{kg/kmol}.
A composição molar do destilado é \displaystyle x_D=0{,}85 álcool e 0{,}15 água. Logo a massa molar média do destilado é
M_D = x_D M_{\text{alc}} + (1-x_D) M_{\text{H}_2\text{O}}.
Substituindo os números:
M_D = 0{,}85\cdot 46{,}07 + 0{,}15\cdot 18{,}015.
Faço as multiplicações:
0{,}85\cdot 46{,}07 = 39{,}1595,
0{,}15\cdot 18{,}015 = 2{,}70225.
Logo
M_D = 39{,}1595 + 2{,}70225 = 41{,}86175\\ \mathrm{kg/kmol}.
Agora o fluxo mássico do destilado é
\dot{m}_D = D\cdot M_D = 120\\ \mathrm{kgmol/h}\times 41{,}86175\\ \mathrm{kg/kmol}.
Multiplicando:
\dot{m}_D = 120 \times 41{,}86175 = 5023{,}41\\ \mathrm{kg/h}.
Arredondando de forma razoável (duas casas decimais): \displaystyle 5023{,}4\\ \mathrm{kg/h}.

Passo 4

Sobre o cálculo do número de pratos teóricos — explicação didática do método e por que faltam dados numéricos.
Agora explico com calma como se calcula o número de pratos teóricos para uma coluna de destilação binária com refluxo constante, e porque, com os dados fornecidos no enunciado, não é possível dar um valor numérico definitivo para o número de pratos.
  1. O que é necessário para determinar o número de pratos teóricos quando a razão de refluxo \displaystyle R é conhecida?
    • É necessário conhecer o equilíbrio vapor–líquido da mistura (curva y vs x à pressão de operação), ou, em aproximações, a volatilidade relativa média \alpha (assumindo \alpha constante).
    • Com a curva de equilíbrio pode-se traçar o diagrama de McCabe–Thiele (método gráfico) e contar os pratos teóricos. Alternativamente, com \alpha constante usa-se o conjunto de fórmulas Fenske (para o número mínimo de pratos em refluxo total), Underwood (para o refluxo mínimo) e Gilliland (para relacionar refluxo real e número de pratos).
  2. Fórmula de Fenske (número mínimo de estágios em refluxo total):
    • A equação de Fenske dá o número mínimo de pratos teóricos N_{\min} necessário para uma dada especificação de composição dos produtos, quando a coluna opera em refluxo total (sem retirada de destilado, caso limite). Para uma coluna binária com volatilidade relativa constante \alpha (álcool sobre água), a fórmula é:
    N_{\min} = \frac{\ln\!\left(\dfrac{x_D/(1-x_D)}{x_B/(1-x_B)}\right)}{\ln\!\alpha}.
    • Aqui:
      • \displaystyle x_D é a fração molar do componente volátil no topo (destilado) — no nosso caso 0{,}85.
      • \displaystyle x_B é a fração molar do componente volátil no fundo (resíduo) — no nosso caso 0{,}10.
      • \displaystyle \alpha é a volatilidade relativa média (assumida constante) entre o componente leve e o pesado.
    • Esse N_{\min} é o número de pratos teóricos no limite de refluxo infinito (total reflux). Para uma razão de refluxo finita \displaystyle R (aqui R=2), o número real de pratos teóricos N será maior que N_{\min}. Para relacionar N, N_{\min}, R e R_{\min} usa-se a correlação de Gilliland (empírica) que relaciona as variáveis adimensionais:
    X=\frac{R-R_{\min}}{R+1},\qquad Y=\frac{N-N_{\min}}{N+1},
    e existe uma curva empírica Y=f(X) (a correlação de Gilliland) que pode ser usada numericamente ou por correlação explícita aproximada.
  3. Por que não posso dar um número de pratos definitivos com os dados do enunciado?
    • Porque falta a informação sobre o equilíbrio VLE (ou um valor médio de \alpha). Sem \alpha não se pode calcular N_{\min}. Sem R_{\min} (que depende também do equilíbrio e do ponto de alimentação q) não se pode usar a correlação de Gilliland para obter N para a razão de refluxo especificada.
    • Portanto qualquer número de pratos dado sem assumir explicitamente uma curva de equilíbrio ou um valor de \alpha seria um palpite.
  4. Demonstração numérica de como proceder caso se conheça \alpha (exemplo ilustrativo):
    • Se alguém fornecer um valor médio da volatilidade relativa, por exemplo \alpha=2{,}5 (valor típico aproximado para etanol/água sob algumas condições), então podemos calcular:
      • Primeiro o numerador da fórmula de Fenske:
      \frac{x_D}{1-x_D} = \frac{0{,}85}{0{,}15} = 5{,}666\ldots, \qquad \frac{x_B}{1-x_B} = \frac{0{,}10}{0{,}90} = 0{,}111\overline{1}.
\text{razão} = \frac{5{,}666\ldots}{0{,}111\overline{1}} = 51.ã
 - Então
 \[N_{\min} = \frac{\ln(51)}{\ln(2{,}5)} \approx \frac{3{,}9318}{0{,}9163} \approx 4{,}29\\ \text{estágios (teóricos)}.\]
 - Este é o número mínimo de estágios em refluxo total. Para obter o número real de estágios com \(\displaystyle R=2\) seria preciso:
   a) Calcular o refluxo mínimo \(\displaystyle R_{\min}\) (usando a equação de Underwood, que precisa de \(\alpha\) e da fração de alimentação \(q\)); e
   b) Usar a correlação de Gilliland para achar \(N\) a partir de \(N_{\min}\), \(R\) e \(R_{\min}\).
 - Sem esses passos numéricos (que exigem \(\alpha\) e/ou curva VLE), não é possível dar o valor numérico de \(N\).
Resumo desta seção: eu posso calcular claramente os fluxos molares e o fluxo mássico do destilado (porque só dependem do balanço material), mas para o número de pratos teóricos é imprescindível o dado de equilíbrio (curva VLE ou volatilidade relativa). Se deseja, eu posso:
  • (A) assumir para você um valor razoável de \alpha (por exemplo \alpha=2{,}5) e completar toda a conta (incluindo uma estimativa de R_{\min} e uso de Gilliland) para dar um número aproximado de pratos; ou
  • (B) explicar numericamente como aplicar Underwood e Gilliland passo a passo caso você tenha a curva VLE ou um valor de \alpha.
Diga qual opção prefere; por enquanto finalizei os balanços pedidos e mostrei como proceder para o cálculo de estágios.

Resposta

\dot{m}_D = 5023{,}4\\ \mathrm{kg/h}
\;B = 480\\ \mathrm{kgmol/h}
Não é possível determinar o número de pratos teóricos sem dados de equilíbrio vapor–líquido (curva y vs x ou volatilidade relativa média \alpha); procedimento para calcular foi explicado acima (posso fornecer um cálculo numérico supondo um valor de \alpha, se desejar).

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