GRUPO A:
Deseja-se destilar uma mistura líquida de álcool-água em uma torre fracionada a
de pressão.A alimentação de
é líquida e contêm
mol de álcool e
de água,e entra a
.Também se deseja obter um destilado que contenha
de álcool e um resíduo que contenha
de água.A relação de refluxo é
.Calcule o kg por hora de destilado,o kg mol por hora de resíduo e o número de pratos teóricos requeridos.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (peguei todos os números do enunciado).
-
Dados fornecidos:
- Alimentação (molar):
. - Composição molar da alimentação (álcool = componente mais volátil):
(álcool) e (água). - A alimentação é líquida e entra a
(isto nos diz que a alimentação está como líquido saturado ou sub-resfriada; o enunciado diz “é líquida”, então adotamos que a fração de líquido na alimentação corresponde a no método de separação). - Pressão do sistema:
(pressão atmosférica). - Especificações dos produtos:
- Destilado com
(fração molar de álcool no destilado). - Resíduo com
tal que o resíduo contém mol de água, ou seja, fração molar de álcool no resíduo .
- Destilado com
- Relação de refluxo dada:
. Interpreto isso como razão líquido de refluxo para destilado , portanto o índice de refluxo (reflux ratio) é .
- Alimentação (molar):
-
O enunciado pede:
- Calcular os quilogramas por hora de destilado (fluxo mássico do destilado).
- Calcular os
de resíduo (fluxo molar do resíduo). - Calcular o número de pratos teóricos requeridos para essa separação com a razão de refluxo dada.
Observação importante (antecipando passo posterior): para determinar o número de pratos teóricos a partir de uma razão de refluxo é necessário conhecer o equilíbrio vapor–líquido (VLE) ou, de forma simplificada, a volatilidade relativa média
(ou a curva
vs
). Se esses dados não forem fornecidos, não é possível calcular numericamente o número de pratos teóricos reais — apenas podemos explicar o método e, se desejar, fazer um exemplo assumindo um valor de
. Vou primeiro resolver as contas de balanço que dependem somente das composições dadas.
Passo 2
Balanços molares (método direto, passo a passo).
Defino as incógnitas molares:
-
= fluxo molar do destilado ( ). -
= fluxo molar do resíduo ( ).
As equações de balanço são:
- Balanço total:
- Balanço do componente álcool (componente leve):
Agora substituo os números conhecidos:
Calculo o lado esquerdo do balanço de álcool:
Substituo
na equação do componente:
Desenvolvo:
Isolo
:
Então
Comentários didáticos rápidos: isto é só álgebra linear com as duas equações de conservação (total e componente). Sempre que a alimentação e as especificações de produto são dadas em frações molares e o fluxo em
, esse cálculo fornece diretamente os fluxos molares de produto.
Passo 3
Conversão para massa (kg/h) do destilado — passo a passo com as massas molares.
O enunciado pede especificamente o fluxo mássico (kg/h) do destilado. Para converter de
para
precisamos da massa molar média do destilado.
- Massas molares (valores usuais):
- Etanol (álcool):
. - Água:
.
- Etanol (álcool):
A composição molar do destilado é
álcool e
água. Logo a massa molar média do destilado é
Substituindo os números:
Faço as multiplicações:
Logo
Agora o fluxo mássico do destilado é
Multiplicando:
Arredondando de forma razoável (duas casas decimais):
.
Passo 4
Sobre o cálculo do número de pratos teóricos — explicação didática do método e por que faltam dados numéricos.
Agora explico com calma como se calcula o número de pratos teóricos para uma coluna de destilação binária com refluxo constante, e porque, com os dados fornecidos no enunciado, não é possível dar um valor numérico definitivo para o número de pratos.
-
O que é necessário para determinar o número de pratos teóricos quando a razão de refluxo
é conhecida? - É necessário conhecer o equilíbrio vapor–líquido da mistura (curva
vs à pressão de operação), ou, em aproximações, a volatilidade relativa média (assumindo constante). - Com a curva de equilíbrio pode-se traçar o diagrama de McCabe–Thiele (método gráfico) e contar os pratos teóricos. Alternativamente, com
constante usa-se o conjunto de fórmulas Fenske (para o número mínimo de pratos em refluxo total), Underwood (para o refluxo mínimo) e Gilliland (para relacionar refluxo real e número de pratos).
- É necessário conhecer o equilíbrio vapor–líquido da mistura (curva
-
Fórmula de Fenske (número mínimo de estágios em refluxo total):
- A equação de Fenske dá o número mínimo de pratos teóricos
necessário para uma dada especificação de composição dos produtos, quando a coluna opera em refluxo total (sem retirada de destilado, caso limite). Para uma coluna binária com volatilidade relativa constante (álcool sobre água), a fórmula é:
-
Aqui:
-
é a fração molar do componente volátil no topo (destilado) — no nosso caso . -
é a fração molar do componente volátil no fundo (resíduo) — no nosso caso . -
é a volatilidade relativa média (assumida constante) entre o componente leve e o pesado.
-
-
Esse
é o número de pratos teóricos no limite de refluxo infinito (total reflux). Para uma razão de refluxo finita (aqui ), o número real de pratos teóricos será maior que . Para relacionar , , e usa-se a correlação de Gilliland (empírica) que relaciona as variáveis adimensionais:
e existe uma curva empírica(a correlação de Gilliland) que pode ser usada numericamente ou por correlação explícita aproximada. - A equação de Fenske dá o número mínimo de pratos teóricos
-
Por que não posso dar um número de pratos definitivos com os dados do enunciado?
- Porque falta a informação sobre o equilíbrio VLE (ou um valor médio de
). Sem não se pode calcular . Sem (que depende também do equilíbrio e do ponto de alimentação ) não se pode usar a correlação de Gilliland para obter para a razão de refluxo especificada. - Portanto qualquer número de pratos dado sem assumir explicitamente uma curva de equilíbrio ou um valor de
seria um palpite.
- Porque falta a informação sobre o equilíbrio VLE (ou um valor médio de
-
Demonstração numérica de como proceder caso se conheça
(exemplo ilustrativo): - Se alguém fornecer um valor médio da volatilidade relativa, por exemplo
(valor típico aproximado para etanol/água sob algumas condições), então podemos calcular: - Primeiro o numerador da fórmula de Fenske:
- Se alguém fornecer um valor médio da volatilidade relativa, por exemplo
- Então
\[N_{\min} = \frac{\ln(51)}{\ln(2{,}5)} \approx \frac{3{,}9318}{0{,}9163} \approx 4{,}29\\ \text{estágios (teóricos)}.\]
- Este é o número mínimo de estágios em refluxo total. Para obter o número real de estágios com \(\displaystyle R=2\) seria preciso:
a) Calcular o refluxo mínimo \(\displaystyle R_{\min}\) (usando a equação de Underwood, que precisa de \(\alpha\) e da fração de alimentação \(q\)); e
b) Usar a correlação de Gilliland para achar \(N\) a partir de \(N_{\min}\), \(R\) e \(R_{\min}\).
- Sem esses passos numéricos (que exigem \(\alpha\) e/ou curva VLE), não é possível dar o valor numérico de \(N\).
Resumo desta seção: eu posso calcular claramente os fluxos molares e o fluxo mássico do destilado (porque só dependem do balanço material), mas para o número de pratos teóricos é imprescindível o dado de equilíbrio (curva VLE ou volatilidade relativa). Se deseja, eu posso:
- (A) assumir para você um valor razoável de
(por exemplo ) e completar toda a conta (incluindo uma estimativa de e uso de Gilliland) para dar um número aproximado de pratos; ou - (B) explicar numericamente como aplicar Underwood e Gilliland passo a passo caso você tenha a curva VLE ou um valor de
.
Diga qual opção prefere; por enquanto finalizei os balanços pedidos e mostrei como proceder para o cálculo de estágios.
Resposta
Não é possível determinar o número de pratos teóricos sem dados de equilíbrio vapor–líquido (curva