Simplifique as seguintes expressões usando a álgebra booleana.
\mathrm{w}=\mathrm{ABC}+\mathrm{A} \overline{\mathrm{B}} \mathrm{C}+\overline{\mathrm{A}}\

Passo 1

O enunciado dá a seguinte expressão Booleana e pede para simplificá‑la:
\mathrm{w}=\mathrm{ABC}+\mathrm{A}\,\overline{\mathrm{B}}\,\mathrm{C}+\overline{\mathrm{A}}.
Informações relevantes fornecidas:
  • As variáveis são \mathrm{A}, \mathrm{B}, \mathrm{C}.
  • Os operadores são: concatenação = AND, + = OR, sobrelinha = NOT.
  • O objetivo é reduzir a expressão a uma forma mais simples equivalente.

Passo 2

Antes de começar a manipular, vamos revisar as regras/identidades de Álgebra Booleana que vamos usar (cada fórmula em TeX):
  • Definições básicas:
X\cdot Y \text{ representa } X\wedge Y,\qquad X+Y \text{ representa } X\vee Y,\qquad \overline{X}\text{ representa } \neg X.
  • Identidades úteis:
X+\overline{X}=1,\qquad X\cdot 1=X,\qquad X+0=X,\qquad X+X=X.
  • Distributiva (útil para fatorar e expandir):
X+Y Z=(X+Y)(X+Z).
  • Regra de complementaridade usada aqui (uma forma prática):
X+\overline{X}Y = X+Y.
Vou usar essas identidades explicitando cada aplicação, passo a passo — sem pular etapas.

Passo 3

Agrupe e fator os dois primeiros termos que têm \mathrm{A} e \mathrm{C} em comum:
\mathrm{ABC}+\mathrm{A}\,\overline{\mathrm{B}}\,\mathrm{C}
colocando \mathrm{A}\mathrm{C} em evidência:
\mathrm{ABC}+\mathrm{A}\,\overline{\mathrm{B}}\,\mathrm{C}=\mathrm{A}\mathrm{C}\,(\mathrm{B}+\overline{\mathrm{B}}).

Passo 4

Use a identidade \mathrm{B}+\overline{\mathrm{B}}=1. Assim:
\mathrm{A}\mathrm{C}\,(\mathrm{B}+\overline{\mathrm{B}})=\mathrm{A}\mathrm{C}\cdot 1=\mathrm{A}\mathrm{C}.
Logo a expressão inteira fica
\mathrm{w}=\mathrm{A}\mathrm{C}+\overline{\mathrm{A}}.

Passo 5

Agora simplificamos \mathrm{A}\mathrm{C}+\overline{\mathrm{A}}. Usamos a identidade distributiva na forma
X+Y Z=(X+Y)(X+Z),
com X=\overline{\mathrm{A}}, Y=\mathrm{A}, Z=\mathrm{C}. Aplicando:
\overline{\mathrm{A}}+\mathrm{A}\mathrm{C}=(\overline{\mathrm{A}}+\mathrm{A})(\overline{\mathrm{A}}+\mathrm{C}).
Mas \overline{\mathrm{A}}+\mathrm{A}=1, então
(\overline{\mathrm{A}}+\mathrm{A})(\overline{\mathrm{A}}+\mathrm{C})=1\cdot(\overline{\mathrm{A}}+\mathrm{C})=\overline{\mathrm{A}}+\mathrm{C}.
Também é possível usar diretamente a forma X+\overline{X}Y=X+Y (colocando X=\overline{\mathrm{A}}), que dá o mesmo resultado.

Passo 6

Fazendo uma checagem rápida por casos para ganhar confiança:
  • Se \mathrm{A}=0 então \overline{\mathrm{A}}+\mathrm{C}=1+\mathrm{C}=1. Na expressão original, com \mathrm{A}=0 os dois primeiros termos são zero e sobra \overline{\mathrm{A}}=1. OK.
  • Se \mathrm{A}=1 então \overline{\mathrm{A}}+\mathrm{C}=0+\mathrm{C}=\mathrm{C}. Na expressão original, com \mathrm{A}=1 temos \mathrm{ABC}+\mathrm{A}\overline{\mathrm{B}}\mathrm{C}=\mathrm{C}(\mathrm{B}+\overline{\mathrm{B}})=\mathrm{C}. OK.

Resposta

\overline{\mathrm{A}}+\mathrm{C}

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