Um grupo de engenheiros está analisando a espessura média da camada de asfalto em uma rodovia recém-pavimentada. A espessura é medida em milímetros.
  • Amostra de 40 medições
  • Espessura média amostral: 45 mm
  • Desvio padrão populacional conhecido: 5 mm
  • Nível de confiança: 95 \%
Calcular o intervalo de confiança para a espessura média da camada de asfalto. (R: 43,45 \mathrm{~mm} \leq \mu \leq 46,55 \mathrm{~mm} )

Passo 1

O enunciado apresenta uma amostra de n=40 medições da espessura de asfalto (em milímetros), com média amostral \bar x = 45 mm e desvio padrão populacional conhecido \sigma = 5 mm. Queremos, usando nível de confiança de 95\%, construir o intervalo de confiança para a verdadeira média \mu. Para isso, vamos usar a fórmula do intervalo de confiança para média com \sigma conhecido e a distribuição normal padrão.

Passo 2

Quando \sigma é conhecido e n é grande, o intervalo de confiança de nível 1-\alpha para \mu é dado por
\bar x \pm z_{\frac{\alpha}{2}}\;\frac{\sigma}{\sqrt{n}}
onde z_{\frac{\alpha}{2}} é o quantil da distribuição normal padrão tal que \Pr\bigl(Z>z_{\frac{\alpha}{2}}\bigr)=\frac{\alpha}{2}.

Passo 3

Para 95\% de confiança, temos \alpha = 0,05 e \frac{\alpha}{2}=0,025. O valor crítico da normal padrão é
z_{0,025} = 1{,}96
obtido em tabela ou software de estatística.

Passo 4

Calculamos o erro padrão da média
s_e = \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = \frac{5}{\sqrt{40}}.
Como \sqrt{40}\approx6{,}3249, segue
s_e \approx \frac{5}{6{,}3249} \approx 0{,}7906\text{ mm}.

Passo 5

A margem de erro E é
E = z_{0,025}\,s_e = 1{,}96 \times 0{,}7906 \approx 1{,}55\text{ mm}.

Passo 6

O intervalo de confiança de 95\% para \mu fica
\bar x - E = 45 - 1{,}55 = 43{,}45\text{ mm},
\bar x + E = 45 + 1{,}55 = 46{,}55\text{ mm}.

Resposta

43{,}45\text{ mm} \le \mu \le 46{,}55\text{ mm}

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