Um grupo de engenheiros trabalhou em um projeto para destilar 100 mol de uma mistura equimolar de forma descontinua. Eles utilizaram uma coluna com um prato e um condensador total,
a. A quantidade de resíduo ( 0,5 pt);
b. A composição do destilado recolhido 0,5 pt);
c. A quantidade média do destilado ( 0,5 pt);
d. A composição do ebulidor ( 1,5 pt)
a. A quantidade de resíduo ( 0,5 pt);
b. A composição do destilado recolhido 0,5 pt);
c. A quantidade média do destilado ( 0,5 pt);
d. A composição do ebulidor ( 1,5 pt)
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (isto foi tirado do enunciado que você enviou).
Dados fornecidos:
- Quantidade inicial total:
mol. - Mistura binária equimolar inicialmente:
(ou seja, 50 mol de e 50 mol de ). - Coluna com um prato (uma etapa de equilíbrio) e condensador total.
- Processo em batelada (descontínuo).
Perguntas do enunciado:
a) A quantidade de resíduo (ou seja, quantos mol ficam no ebulidor no final).
b) A composição do destilado recolhido.
c) A quantidade média do destilado.
d) A composição do ebulidor (no fim do processo).
a) A quantidade de resíduo (ou seja, quantos mol ficam no ebulidor no final).
b) A composição do destilado recolhido.
c) A quantidade média do destilado.
d) A composição do ebulidor (no fim do processo).
Observação importantíssima: o enunciado não informa vários dados fundamentais necessários para obter números (por exemplo: curva de equilíbrio vapor–líquido
ou volatilidades, critério de término da destilação — quanto destilar ou qual composição final do ebulidor, refluxo/recolhimento parcial, etc.). Mais adiante eu explico exatamente quais dados estão faltando e como usar os que faltam para calcular cada item; sem esses dados não é possível dar respostas numéricas únicas.
Passo 2
Entendendo fisicamente o que o sistema significa (isso ajuda a ver que dados são necessários):
- “Condensador total” significa que o vapor que sai do topo condensa totalmente; a composição do destilado líquido condensado iguala a composição do vapor que saiu do topo naquele instante. Não significa que o produto seja puro — significa apenas que não há vapor saindo sem condensar.
- “Coluna com um prato” significa que entre o ebulidor e o topo existe uma única etapa de equilíbrio (uma etapa teórica). Isso torna a separação fracionária limitada: cada equilíbrio vapor–líquido dá uma enriquecimento, mas com só um prato não se obtém grande fracionamento.
- Em destilação em batelada, a composição do vapor que sai (e, portanto, do destilado instantâneo) varia com o tempo conforme o líquido no ebulidor vai ficando mais rico no componente menos volátil. Para tratar isso teoricamente usa-se a equação de Rayleigh (equação diferencial integrada) que relaciona o número de mols no ebulidor
com a composição líquida do ebulidor e com a curva de equilíbrio .
Passo 3
Balanços simples que sempre valem (definições e notação — explico cada símbolo):
-
: moles totais iniciais no ebulidor ( mol). -
: fração molar do componente no ebulidor inicialmente ( ). -
: moles no ebulidor em qualquer instante. No final do processo o resíduo será (subscrito para final). -
: fração molar do componente no líquido do ebulidor em qualquer instante. No início é , no fim é . -
: moles total recolhidos como destilado ao final ( ). -
: fração molar do componente no vapor que sai; por condensador total, a composição instantânea do destilado é igual a . A relação entre e é a curva de equilíbrio (essa curva depende das propriedades dos componentes e das condições de pressão/idealidade).
Balanço total (sempre válido):
Balanço do componente
:
onde
é a composição média do destilado (fração molar média de
no total destilado recolhido). Note que
Essas equações mostram que, para obter números, precisamos de pelo menos dois dos três:
,
e
. Mas
é calculado a partir da história de
, que por sua vez depende de
e de como
varia com
.
Passo 4
A equação de Rayleigh (ferramenta central para batelada) — derivação curta e explicada:
Considere uma pequena quantidade de destilado
retirada. O ebulidor perde
moles. O conteúdo do componente
no ebulidor muda:
(porque o pequeno destilado contém
mol de
). Substituindo
dá:
Expanda
. Assim:
Rearranjando:
Integra-se entre o estado inicial
e o estado final
:
Esta é a equação de Rayleigh escrita de forma conveniente. Interpretação: conhecendo a curva de equilíbrio
, ao integrar do
até
obtém-se a razão
e, portanto, o resíduo
.
Passo 5
Forma prática da curva de equilíbrio: volatilidade relativa constante (modelo muito usado em ensino)
- Se a mistura é ideal e os componentes têm volatilidades aproximadamente constantes, usa-se a volatilidade relativa
definida como (ou razão das pressões de vapor relativas). Nesse caso a relação para mistura binária ideal com constante é
Explico:
é a fração molar de
na fase líquida;
a da fase vapor. Quando
,
é mais volátil que
e o vapor é enriquecido em
.
Substituindo esse
na integral de Rayleigh, o integrando simplifica e a integração pode ser feita analiticamente. Os passos algébricos (mostro-os para você saber fazer na prova):
Calcule
:
Logo
Fazendo frações parciais (detalhe importante na prova): escrever
Portanto o integrando fica
Integrando de
a
,
Isto é uma relação fechada que permite computar
(portanto o resíduo
) se
e
forem conhecidos.
Passo 6
Como obter composição média do destilado
e composição instantânea do destilado:
- A composição instantânea do destilado naquele instante em que o ebulidor tem fração
é (pela VLE). Em condensador total, o destilado recolhido naquele instante tem fração . - A composição média do destilado recolhido entre o início e o fim (ou entre duas marcas) é obtida por balanço de componente:
Isto é prático porque evita integrar explicitamente
ao longo do tempo: basta conhecer o estado inicial e final do ebulidor (ou seja,
e
).
Passo 7
Procedimento passo-a-passo que você deve seguir na prova (resumo operacional):
- Determine (ou seja forneça) a relação de equilíbrio
. Se puder assumir volatilidade constante, determine e use a fórmula de dada no Passo 5. Caso contrário, use a tabela/curva dada no enunciado. - Identifique o critério de término da batelada: normalmente o problema dá ou a quantidade destilada
, ou a composição final do ebulidor , ou a temperatura final. Sem esse critério não há número único para nem para as composições. - Use a equação de Rayleigh
para encontrar
(o resíduo). Se
for do tipo com
constante, use a fórmula integrada do Passo 5.
4. Calcule .
5. Calcule a composição média do destilado por
4. Calcule
5. Calcule a composição média do destilado por
- A composição instantânea do destilado em qualquer momento é
. A composição final do ebulidor é (fornecida ou calculada via Rayleigh).
Passo 8
Exemplo numérico didático (é só um exemplo — serve para ver todos os passos concretos). Isto mostra exatamente como faria a conta na prova se o enunciado desse os parâmetros que estão faltando.
Suponha (exemplo) que
(A é duas vezes mais volátil que B) e que a destilação foi feita até que o ebulidor tenha
(10% mol de
no líquido final). Vamos calcular
e demais quantidades.
Usamos a fórmula do Passo 5 com
,
,
. Então
Calculemos cada termo (mostro os passos para você fazer sem calculadora, aproximando logaritmos quando necessário em prova com calculadora aceitável; aqui uso valores aproximados para exemplificar):
Então
Logo
Assim
mol (resíduo) e
mol destilado coletado. A composição média do destilado:
Ou seja, média
(52,6% mol de
). A composição instantânea inicial do destilado (no início) era
(66,7%
); ao final (quando
)
.
Esse exemplo mostra que:
- Com
razoável e destilando muito (até baixo), é possível recolher a maior parte da substância; porém a composição do destilado decai com o tempo. - Veja como usar a equação integrada e o balanço para obter as quantidades pedidas.
Passo 9
Resumo final e o porquê NÃO posso dar os números pedidos com certeza para o enunciado que você mandou:
- Para responder numericamente (a)–(d) é necessário pelo menos:
- A curva de equilíbrio
(ou uma hipótese de volatilidade constante com valor de ). - O critério de término da destilação: isto é, até qual condição foi feita a batelada — por exemplo, até recolher uma quantidade
específica, ou até que o ebulidor atinja uma composição final , ou até certa temperatura. Sem isso o resíduo não é determinado. - Informação sobre se houve refluxo (se o condensado foi todo recolhido ou parte retornou como refluxo). O enunciado diz “condensador total”, mas não especifica se parte do condensado foi alimentada de volta como refluxo: na prática normalmente em batelada se recolhe parte e devolve parte; isso altera fortemente as composições e torna necessária a informação do refluxo (razão de refluxo) para modelagem. Se o problema quer um caso simples, muitas vezes assume-se “nenhum refluxo” (todo condensado recolhido) ou “refluxo total” (refluxo igual ao destilado) — o enunciado precisa dizer.
- A curva de equilíbrio
- Portanto, com os dados fornecidos (apenas
mol e mistura equimolar) não há informação suficiente para fornecer os valores numéricos pedidos. O que eu fiz acima foi: - ensinar passo a passo as fórmulas e o método que você deve aplicar na prova;
- mostrar um exemplo numérico (com
e ) para você ver como são feitas as contas.
Se você quiser, eu já faço as contas numéricas reais para o seu exercício: me diga (sem eu ter de perguntar várias vezes — eu já sei que você não quer várias perguntas, então aqui vai o que preciso que você decida ou forneça; escolha uma opção e eu calculo):
- opção A) Informe
(ou a curva ) e informe (composição final do ebulidor) OU informe o total destilado recolhido; e diga se houve refluxo (se sim, qual razão). - opção B) Se preferir, eu assumo um caso padrão (por exemplo:
, sem refluxo, e destila até ) e eu listo os resultados (como no exemplo).
Diga só qual opção prefere que eu use (A com seus dados ou B com hipóteses razoáveis) que eu já executo os cálculos completos passo a passo.
Resposta
a) Impossível determinar numericamente com os dados fornecidos (faltam a curva de equilíbrio
ou volatilidade
e o critério de término:
ou
; também é necessária informação sobre refluxo).
b) Impossível determinar numericamente (a composição instantânea do destilado é e a média é
; é preciso
e o estado final para avaliar).
c) Impossível determinar numericamente (a quantidade de destilado só é conhecida se for dado
ou se o problema disser quanto foi coletado).
d) Impossível determinar numericamente (a composição final do ebulidor é ; é preciso indicar
ou fornecer dados que permitam determiná‑lo via equação de Rayleigh).
b) Impossível determinar numericamente (a composição instantânea do destilado é
c) Impossível determinar numericamente (a quantidade de destilado
d) Impossível determinar numericamente (a composição final do ebulidor é