Um grupo de engenheiros trabalhou em um projeto para destilar 100 mol de uma mistura equimolar de forma descontinua. Eles utilizaram uma coluna com um prato e um condensador total,
a. A quantidade de resíduo ( 0,5 pt);
b. A composição do destilado recolhido 0,5 pt);
c. A quantidade média do destilado ( 0,5 pt);
d. A composição do ebulidor ( 1,5 pt)

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (isto foi tirado do enunciado que você enviou).
Dados fornecidos:
  • Quantidade inicial total: N_0 = 100 mol.
  • Mistura binária equimolar inicialmente: x_{A0} = x_{B0} = 0{,}5 (ou seja, 50 mol de A e 50 mol de B).
  • Coluna com um prato (uma etapa de equilíbrio) e condensador total.
  • Processo em batelada (descontínuo).
Perguntas do enunciado:
a) A quantidade de resíduo (ou seja, quantos mol ficam no ebulidor no final).
b) A composição do destilado recolhido.
c) A quantidade média do destilado.
d) A composição do ebulidor (no fim do processo).
Observação importantíssima: o enunciado não informa vários dados fundamentais necessários para obter números (por exemplo: curva de equilíbrio vapor–líquido y(x) ou volatilidades, critério de término da destilação — quanto destilar ou qual composição final do ebulidor, refluxo/recolhimento parcial, etc.). Mais adiante eu explico exatamente quais dados estão faltando e como usar os que faltam para calcular cada item; sem esses dados não é possível dar respostas numéricas únicas.

Passo 2

Entendendo fisicamente o que o sistema significa (isso ajuda a ver que dados são necessários):
  • “Condensador total” significa que o vapor que sai do topo condensa totalmente; a composição do destilado líquido condensado iguala a composição do vapor que saiu do topo naquele instante. Não significa que o produto seja puro — significa apenas que não há vapor saindo sem condensar.
  • “Coluna com um prato” significa que entre o ebulidor e o topo existe uma única etapa de equilíbrio (uma etapa teórica). Isso torna a separação fracionária limitada: cada equilíbrio vapor–líquido dá uma enriquecimento, mas com só um prato não se obtém grande fracionamento.
  • Em destilação em batelada, a composição do vapor que sai (e, portanto, do destilado instantâneo) varia com o tempo conforme o líquido no ebulidor vai ficando mais rico no componente menos volátil. Para tratar isso teoricamente usa-se a equação de Rayleigh (equação diferencial integrada) que relaciona o número de mols no ebulidor N com a composição líquida x do ebulidor e com a curva de equilíbrio y=y(x).

Passo 3

Balanços simples que sempre valem (definições e notação — explico cada símbolo):
  • N_0: moles totais iniciais no ebulidor ( =100 mol).
  • x_0: fração molar do componente A no ebulidor inicialmente ( =0{,}5).
  • N: moles no ebulidor em qualquer instante. No final do processo o resíduo será R = N_f (subscrito f para final).
  • x: fração molar do componente A no líquido do ebulidor em qualquer instante. No início é x_0, no fim é x_f.
  • D: moles total recolhidos como destilado ao final ( D = N_0 - R).
  • y: fração molar do componente A no vapor que sai; por condensador total, a composição instantânea do destilado é igual a y. A relação entre y e x é a curva de equilíbrio y=y(x) (essa curva depende das propriedades dos componentes e das condições de pressão/idealidade).
Balanço total (sempre válido):
N_0 = R + D.
Balanço do componente A:
N_0 x_0 = R x_f + D \,\overline{y},
onde \overline{y} é a composição média do destilado (fração molar média de A no total destilado recolhido). Note que
\overline{y} = \frac{\text{moles de A no destilado}}{D} = \frac{N_0 x_0 - R x_f}{D}.
Essas equações mostram que, para obter números, precisamos de pelo menos dois dos três: R, x_f e \overline{y}. Mas \overline{y} é calculado a partir da história de y(t), que por sua vez depende de y(x) e de como x varia com N.

Passo 4

A equação de Rayleigh (ferramenta central para batelada) — derivação curta e explicada:
Considere uma pequena quantidade de destilado dD retirada. O ebulidor perde dN = -dD moles. O conteúdo do componente A no ebulidor muda: d(Nx) = -y\,dD (porque o pequeno destilado contém y\,dD mol de A). Substituindo dD = -dN dá:
d(Nx) = y\,dN.
Expanda d(Nx) = N\,dx + x\,dN. Assim:
N\,dx + x\,dN = y\,dN \quad\Rightarrow\quad N\,dx = (y-x)\,dN.
Rearranjando:
\frac{dN}{N} = \frac{dx}{y(x) - x}.
Integra-se entre o estado inicial (N_0,x_0) e o estado final (N_f,x_f):
\ln\frac{N_f}{N_0} = \int_{x_0}^{x_f} \frac{dx}{y(x) - x}.
Esta é a equação de Rayleigh escrita de forma conveniente. Interpretação: conhecendo a curva de equilíbrio y(x), ao integrar do x_0 até x_f obtém-se a razão N_f/N_0 e, portanto, o resíduo R=N_f.

Passo 5

Forma prática da curva de equilíbrio: volatilidade relativa constante (modelo muito usado em ensino)
  • Se a mistura é ideal e os componentes têm volatilidades aproximadamente constantes, usa-se a volatilidade relativa \alpha definida como \alpha = \dfrac{K_A}{K_B} (ou razão das pressões de vapor relativas). Nesse caso a relação y(x) para mistura binária ideal com \alpha constante é
y(x) = \frac{\alpha x}{1 + (\alpha - 1)x}.
Explico: x é a fração molar de A na fase líquida; y a da fase vapor. Quando \alpha>1, A é mais volátil que B e o vapor é enriquecido em A.
Substituindo esse y(x) na integral de Rayleigh, o integrando simplifica e a integração pode ser feita analiticamente. Os passos algébricos (mostro-os para você saber fazer na prova):
Calcule y-x:
y-x = \frac{\alpha x}{1+(\alpha-1)x} - x = \frac{(\alpha-1)x(1-x)}{1+(\alpha-1)x}.
Logo
\frac{1}{y-x} = \frac{1+(\alpha-1)x}{(\alpha-1)x(1-x)}.
Fazendo frações parciais (detalhe importante na prova): escrever
\frac{1+(\alpha-1)x}{x(1-x)} = \frac{1}{x} + \frac{\alpha}{1-x}.
Portanto o integrando fica
\frac{1}{y-x} = \frac{1}{\alpha-1}\left(\frac{1}{x} + \frac{\alpha}{1-x}\right).
Integrando de x_0 a x_f,
\ln\frac{N_f}{N_0} = \frac{1}{\alpha-1}\left[\ln\frac{x_f}{x_0} - \alpha\ln\frac{1-x_f}{1-x_0}\right].
Isto é uma relação fechada que permite computar N_f (portanto o resíduo R) se \alpha e x_f forem conhecidos.

Passo 6

Como obter composição média do destilado \overline{y} e composição instantânea do destilado:
  • A composição instantânea do destilado naquele instante em que o ebulidor tem fração x é y(x) (pela VLE). Em condensador total, o destilado recolhido naquele instante tem fração y(x).
  • A composição média do destilado recolhido entre o início e o fim (ou entre duas marcas) é obtida por balanço de componente:
\overline{y} = \frac{N_0 x_0 - N_f x_f}{D} \quad\text{com}\quad D = N_0 - N_f.
Isto é prático porque evita integrar explicitamente y(x) ao longo do tempo: basta conhecer o estado inicial e final do ebulidor (ou seja, x_0,N_0 e x_f,N_f).

Passo 7

Procedimento passo-a-passo que você deve seguir na prova (resumo operacional):
  1. Determine (ou seja forneça) a relação de equilíbrio y(x). Se puder assumir volatilidade constante, determine \alpha e use a fórmula de y(x) dada no Passo 5. Caso contrário, use a tabela/curva y(x) dada no enunciado.
  2. Identifique o critério de término da batelada: normalmente o problema dá ou a quantidade destilada D, ou a composição final do ebulidor x_f, ou a temperatura final. Sem esse critério não há número único para R nem para as composições.
  3. Use a equação de Rayleigh
\ln\frac{N_f}{N_0} = \int_{x_0}^{x_f} \frac{dx}{y(x)-x}
para encontrar N_f (o resíduo). Se y(x) for do tipo com \alpha constante, use a fórmula integrada do Passo 5.
4. Calcule D = N_0 - N_f.
5. Calcule a composição média do destilado por
\overline{y} = \frac{N_0 x_0 - N_f x_f}{D}.
  1. A composição instantânea do destilado em qualquer momento é y(x). A composição final do ebulidor é x_f (fornecida ou calculada via Rayleigh).

Passo 8

Exemplo numérico didático (é só um exemplo — serve para ver todos os passos concretos). Isto mostra exatamente como faria a conta na prova se o enunciado desse os parâmetros que estão faltando.
Suponha (exemplo) que \alpha = 2{,}0 (A é duas vezes mais volátil que B) e que a destilação foi feita até que o ebulidor tenha x_f = 0{,}1 (10% mol de A no líquido final). Vamos calcular N_f e demais quantidades.
Usamos a fórmula do Passo 5 com x_0=0{,}5, x_f=0{,}1, \alpha=2. Então
\ln\frac{N_f}{100} = \frac{1}{2-1}\Bigg[\ln\frac{0{,}1}{0{,}5} - 2\ln\frac{1-0{,}1}{1-0{,}5}\Bigg].
Calculemos cada termo (mostro os passos para você fazer sem calculadora, aproximando logaritmos quando necessário em prova com calculadora aceitável; aqui uso valores aproximados para exemplificar):
\ln\frac{0{,}1}{0{,}5} = \ln(0{,}2)\approx -1{,}6094, \qquad \ln\frac{1-0{,}1}{1-0{,}5} = \ln\frac{0{,}9}{0{,}5}=\ln(1{,}8)\approx 0{,}5878.
Então
\ln\frac{N_f}{100} \approx (-1{,}6094) - 2(0{,}5878) = -1{,}6094 - 1{,}1756 = -2{,}7850.
Logo
\frac{N_f}{100} \approx e^{-2{,}7850} \approx 0{,}062, \quad\text{então}\quad N_f \approx 6{,}2\\ \text{mol}.ã
Assim R\approx 6{,}2 mol (resíduo) e D = 100 - 6{,}2 = 93{,}8 mol destilado coletado. A composição média do destilado:
\overline{y} = \frac{100\times 0{,}5 - 6{,}2\times 0{,}1}{93{,}8} = \frac{50 - 0{,}62}{93{,}8} = \frac{49{,}38}{93{,}8}\approx 0{,}526.
Ou seja, média \overline{y}\approx 0{,}526 (52,6% mol de A). A composição instantânea inicial do destilado (no início) era y(x_0)=y(0{,}5)=\dfrac{2\cdot0{,}5}{1+(2-1)\cdot0{,}5}=\dfrac{1}{1{,}5}=0{,}666 (66,7% A); ao final (quando x=0{,}1) y(0{,}1)=\dfrac{2\cdot0{,}1}{1+(2-1)\cdot0{,}1}=\dfrac{0{,}2}{1{,}1}\approx0{,}1818.
Esse exemplo mostra que:
  • Com \alpha razoável e destilando muito (até x_f baixo), é possível recolher a maior parte da substância; porém a composição do destilado decai com o tempo.
  • Veja como usar a equação integrada e o balanço para obter as quantidades pedidas.

Passo 9

Resumo final e o porquê NÃO posso dar os números pedidos com certeza para o enunciado que você mandou:
  • Para responder numericamente (a)–(d) é necessário pelo menos:
    • A curva de equilíbrio y(x) (ou uma hipótese de volatilidade constante com valor de \alpha).
    • O critério de término da destilação: isto é, até qual condição foi feita a batelada — por exemplo, até recolher uma quantidade D específica, ou até que o ebulidor atinja uma composição final x_f, ou até certa temperatura. Sem isso o resíduo R não é determinado.
    • Informação sobre se houve refluxo (se o condensado foi todo recolhido ou parte retornou como refluxo). O enunciado diz “condensador total”, mas não especifica se parte do condensado foi alimentada de volta como refluxo: na prática normalmente em batelada se recolhe parte e devolve parte; isso altera fortemente as composições e torna necessária a informação do refluxo (razão de refluxo) para modelagem. Se o problema quer um caso simples, muitas vezes assume-se “nenhum refluxo” (todo condensado recolhido) ou “refluxo total” (refluxo igual ao destilado) — o enunciado precisa dizer.
  • Portanto, com os dados fornecidos (apenas N_0=100 mol e mistura equimolar) não há informação suficiente para fornecer os valores numéricos pedidos. O que eu fiz acima foi:
    • ensinar passo a passo as fórmulas e o método que você deve aplicar na prova;
    • mostrar um exemplo numérico (com \alpha=2 e x_f=0{,}1) para você ver como são feitas as contas.
Se você quiser, eu já faço as contas numéricas reais para o seu exercício: me diga (sem eu ter de perguntar várias vezes — eu já sei que você não quer várias perguntas, então aqui vai o que preciso que você decida ou forneça; escolha uma opção e eu calculo):
  • opção A) Informe \alpha (ou a curva y(x)) e informe x_f (composição final do ebulidor) OU informe o total destilado D recolhido; e diga se houve refluxo (se sim, qual razão).
  • opção B) Se preferir, eu assumo um caso padrão (por exemplo: \alpha=2, sem refluxo, e destila até x_f=0{,}1) e eu listo os resultados (como no exemplo).
Diga só qual opção prefere que eu use (A com seus dados ou B com hipóteses razoáveis) que eu já executo os cálculos completos passo a passo.

Resposta

a) Impossível determinar numericamente com os dados fornecidos (faltam a curva de equilíbrio y(x) ou volatilidade \alpha e o critério de término: x_f ou D; também é necessária informação sobre refluxo).
b) Impossível determinar numericamente (a composição instantânea do destilado é y(x) e a média é \overline{y}=\dfrac{N_0 x_0 - R x_f}{D}; é preciso y(x) e o estado final para avaliar).
c) Impossível determinar numericamente (a quantidade de destilado D só é conhecida se for dado x_f ou se o problema disser quanto foi coletado).
d) Impossível determinar numericamente (a composição final do ebulidor é x_f; é preciso indicar x_f ou fornecer dados que permitam determiná‑lo via equação de Rayleigh).

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