3^{2} Questão ( 1.5 pontos): Considerando a mesma mistura binária de volatilidade relativa igual a 1,3 , um grupo de engenheiros projetou uma coluna de destilação em batelada e concluiu que, para manter \mathrm{XD}_{\mathrm{D}} igual a 0,9 , a coluna precisa ter mais 10 estágios de equilíbrio. Com o objetivo de alcançar \mathrm{x}_{\mathrm{B}}=0,1, responda às seguintes demandas:
a) determine a razão de refluxo final ( 0,5 \mathrm{pt} );
b) determine a razão de refluxo inicial ( 0,5 \mathrm{pt} );
c) discuta se os 10 estágios de equilíbrio são suficientes para a separação e, caso não sejam, quantos estágios seriam necessários ( 1,0 pt).
Passo 1
O enunciado e os dados relevantes (peguei tudo do enunciado):
Mistura binária com volatilidade relativa \alpha = 1{,}3.
Os projetistas afirmaram que, para manter \mathrm{X_D}=0{,}9, a coluna precisa ter 10 estágios de equilíbrio (o enunciado depois pergunta se esses 10 estágios são suficientes para também alcançar \mathrm{x_B}=0{,}1). Vou interpretar que a coluna proposta tem N=10 estágios teóricos disponíveis.
Objetivos pedidos:
a) determinar a razão de refluxo final;
b) determinar a razão de refluxo inicial;
c) discutir se os 10 estágios são suficientes para a separação alvo e, se não, quantos estágios seriam necessários.
Informações numéricas:
\alpha = 1{,}3.
\;x_D = 0{,}9 (fração molar no destilado).
\;x_B = 0{,}1 (fração molar nos fundos).
número de estágios disponível: N=10.
A partir daqui vamos calcular o número mínimo de estágios no refluxo total (Fenske), interpretar o significado físico desse valor e concluir sobre as razões de refluxo possíveis.
Passo 2
Conceito e fórmula de Fenske (aula rápida e direta)
O resultado de Fenske dá o número mínimo de estágios teóricos necessários para uma dada separação se a operação for em refluxo total (ou seja, sem retirada de produto no topo durante a operação teórica): este é o menor N possível (chamado N_{\min}) para alcançar \;x_D e \;x_B dados, assumindo volatilidade relativa constante \alpha.
Fórmula de Fenske (para mistura binária, const. \alpha):
\;x_D = fração molar do componente mais volátil no destilado (topo).
\;x_B = fração molar do mesmo componente nos fundos (fundo).
\alpha = volatilidade relativa do componente mais volátil em relação ao menos volátil (constante aqui).
A razão por que essa fórmula funciona: Fenske vem da relação entre razões molares nas fases no caso de refluxo total e usa o fato de que cada estágio, num balanço ideal, aumenta a razão volátil/menos-volátil por um fator aproximado relacionado à \alpha.
Agora aplicamos a fórmula com nossos números.
Passo 3
Cálculo de N_{\min} pela fórmula de Fenske (conta passo a passo, sem pular etapas)
Primeiro calcule as razões \dfrac{x_D}{1-x_D} e \dfrac{x_B}{1-x_B}:
Interpretação: mesmo operando em refluxo total (situação ideal que dá o menor número de estágios possível), são necessários aproximadamente 16{,}75 estágios teóricos para passar de x_B=0{,}1 a x_D=0{,}9 com \alpha=1{,}3.
Passo 4
Consequência prática e significado para a coluna com N=10
O número mínimo de estágios para essa separação é N_{\min}\approx 16{,}75. Isso significa que, mesmo no caso ideal de refluxo total (o caso extremo em que a razão de refluxo tende ao infinito), seriam necessários cerca de 16{,}75 estágios teóricos.
A coluna projetada tem apenas N=10 estágios teóricos (conforme o enunciado). Logo N=10 < N_{\min}.
Quando o número de estágios disponível é menor que N_{\min}, não existe nenhum valor finito da razão de refluxo R que permita alcançar simultaneamente x_D=0{,}9 e x_B=0{,}1. A única “solução” seria aumentar o refluxo indefinidamente (tender a refluxo total), mas mesmo nesse caso, a separação exigiria pelo menos N_{\min} estágios — e a coluna tem menos. Em termos práticos: com 10 estágios é impossível obter essa separação por qualquer razão de refluxo finita.
Portanto:
A razão de refluxo final necessária para alcançar a separação com N=10 tenderia a infinito; não existe refluxo finito que resolva o problema nas condições dadas.
A razão de refluxo inicial (por exemplo, um refluxo prático que se possa estabelecer no início da operação) também não permitirá alcançar a separação desejada se o número de estágios ficar em 10: aumentando R vai melhorar a separação, mas nunca será suficiente até que N atinja pelo menos N_{\min}.
Vou traduzir isso em respostas diretas e numéricas na seção final.
Passo 5
Quantos estágios seriam necessários na prática?
O resultado de Fenske nos deu N_{\min}\approx16{,}75. Em projeto de coluna trabalha-se com número inteiro de estágios teóricos; normalmente arredonda-se para cima para garantir a separação. Portanto o número mínimo inteiro de estágios que garante a separação é
N = \lceil 16{,}75\rceil = 17\\ \text{estágios teóricos}.áó
Conclusão prática: é preciso projetar a coluna com pelo menos 17 estágios teóricos (ou aumentar a eficiência/usar estágios reais melhores, ou usar outras medidas como reforçar a volatilidade relativa com azeotropadores, ou fazer destilação em mais de um passo). Com apenas 10 estágios a separação desejada \{x_D=0{,}9,\; x_B=0{,}1\} é inviável.
Resposta
a) Não existe razão de refluxo finita que permita a separação desejada com N=10; a razão de refluxo necessária tenderia a \infty (ou seja, refluxo total seria exigido e mesmo assim seriam necessários mais estágios).
b) Pela mesma razão, não há razão de refluxo inicial finita que permita alcançar a separação com apenas N=10; qualquer refluxo finito será insuficiente (a condição exigiria refluxo tendendo a \infty).
c) Não: os 10 estágios são insuficientes. Pelo critério de Fenske o número mínimo de estágios teóricos é N_{\min}\approx16{,}75, portanto são necessários pelo menos 17 estágios teóricos para alcançar \;x_D=0{,}9 e \;x_B=0{,}1 com \alpha=1{,}3.