3^{2} Questão ( 1.5 pontos): Considerando a mesma mistura binária de volatilidade relativa igual a 1,3 , um grupo de engenheiros projetou uma coluna de destilação em batelada e concluiu que, para manter \mathrm{XD}_{\mathrm{D}} igual a 0,9 , a coluna precisa ter mais 10 estágios de equilíbrio. Com o objetivo de alcançar \mathrm{x}_{\mathrm{B}}=0,1, responda às seguintes demandas:
a) determine a razão de refluxo final ( 0,5 \mathrm{pt} );
b) determine a razão de refluxo inicial ( 0,5 \mathrm{pt} );
c) discuta se os 10 estágios de equilíbrio são suficientes para a separação e, caso não sejam, quantos estágios seriam necessários ( 1,0 pt).

Passo 1

O enunciado e os dados relevantes (peguei tudo do enunciado):
  • Mistura binária com volatilidade relativa \alpha = 1{,}3.
  • Os projetistas afirmaram que, para manter \mathrm{X_D}=0{,}9, a coluna precisa ter 10 estágios de equilíbrio (o enunciado depois pergunta se esses 10 estágios são suficientes para também alcançar \mathrm{x_B}=0{,}1). Vou interpretar que a coluna proposta tem N=10 estágios teóricos disponíveis.
  • Objetivos pedidos:
    a) determinar a razão de refluxo final;
    b) determinar a razão de refluxo inicial;
    c) discutir se os 10 estágios são suficientes para a separação alvo e, se não, quantos estágios seriam necessários.
Informações numéricas:
  • \alpha = 1{,}3.
  • \;x_D = 0{,}9 (fração molar no destilado).
  • \;x_B = 0{,}1 (fração molar nos fundos).
  • número de estágios disponível: N=10.
A partir daqui vamos calcular o número mínimo de estágios no refluxo total (Fenske), interpretar o significado físico desse valor e concluir sobre as razões de refluxo possíveis.

Passo 2

Conceito e fórmula de Fenske (aula rápida e direta)
  • O resultado de Fenske dá o número mínimo de estágios teóricos necessários para uma dada separação se a operação for em refluxo total (ou seja, sem retirada de produto no topo durante a operação teórica): este é o menor N possível (chamado N_{\min}) para alcançar \;x_D e \;x_B dados, assumindo volatilidade relativa constante \alpha.
  • Fórmula de Fenske (para mistura binária, const. \alpha):
N_{\min} \;=\; \frac{\ln\!\left(\dfrac{\dfrac{x_D}{1-x_D}}{\dfrac{x_B}{1-x_B}}\right)}{\ln(\alpha)}.
  • Interpretação das variáveis:
    • \;x_D = fração molar do componente mais volátil no destilado (topo).
    • \;x_B = fração molar do mesmo componente nos fundos (fundo).
    • \alpha = volatilidade relativa do componente mais volátil em relação ao menos volátil (constante aqui).
  • A razão por que essa fórmula funciona: Fenske vem da relação entre razões molares nas fases no caso de refluxo total e usa o fato de que cada estágio, num balanço ideal, aumenta a razão volátil/menos-volátil por um fator aproximado relacionado à \alpha.
Agora aplicamos a fórmula com nossos números.

Passo 3

Cálculo de N_{\min} pela fórmula de Fenske (conta passo a passo, sem pular etapas)
  • Primeiro calcule as razões \dfrac{x_D}{1-x_D} e \dfrac{x_B}{1-x_B}:
\frac{x_D}{1-x_D} = \frac{0{,}9}{1-0{,}9} = \frac{0{,}9}{0{,}1} = 9,
\frac{x_B}{1-x_B} = \frac{0{,}1}{1-0{,}1} = \frac{0{,}1}{0{,}9} = \frac{1}{9} \approx 0{,}111111\ldots
  • A razão das duas razões é
\frac{\dfrac{x_D}{1-x_D}}{\dfrac{x_B}{1-x_B}} = \frac{9}{1/9} = 81.
  • Agora aplique a fórmula de Fenske:
N_{\min} \;=\; \frac{\ln(81)}{\ln(1{,}3)}.
  • Avaliando logaritmos (mostrar valores aproximados para que a conta fique clara):
\ln(81) = \ln(3^4) = 4\ln 3 \approx 4 \times 1{,}098612 = 4{,}394449,
\ln(1{,}3) \approx 0{,}262364.
  • Portanto
N_{\min} \approx \frac{4{,}394449}{0{,}262364} \approx 16{,}75.
Interpretação: mesmo operando em refluxo total (situação ideal que dá o menor número de estágios possível), são necessários aproximadamente 16{,}75 estágios teóricos para passar de x_B=0{,}1 a x_D=0{,}9 com \alpha=1{,}3.

Passo 4

Consequência prática e significado para a coluna com N=10
  • O número mínimo de estágios para essa separação é N_{\min}\approx 16{,}75. Isso significa que, mesmo no caso ideal de refluxo total (o caso extremo em que a razão de refluxo tende ao infinito), seriam necessários cerca de 16{,}75 estágios teóricos.
  • A coluna projetada tem apenas N=10 estágios teóricos (conforme o enunciado). Logo N=10 < N_{\min}.
  • Quando o número de estágios disponível é menor que N_{\min}, não existe nenhum valor finito da razão de refluxo R que permita alcançar simultaneamente x_D=0{,}9 e x_B=0{,}1. A única “solução” seria aumentar o refluxo indefinidamente (tender a refluxo total), mas mesmo nesse caso, a separação exigiria pelo menos N_{\min} estágios — e a coluna tem menos. Em termos práticos: com 10 estágios é impossível obter essa separação por qualquer razão de refluxo finita.
  • Portanto:
    • A razão de refluxo final necessária para alcançar a separação com N=10 tenderia a infinito; não existe refluxo finito que resolva o problema nas condições dadas.
    • A razão de refluxo inicial (por exemplo, um refluxo prático que se possa estabelecer no início da operação) também não permitirá alcançar a separação desejada se o número de estágios ficar em 10: aumentando R vai melhorar a separação, mas nunca será suficiente até que N atinja pelo menos N_{\min}.
Vou traduzir isso em respostas diretas e numéricas na seção final.

Passo 5

Quantos estágios seriam necessários na prática?
  • O resultado de Fenske nos deu N_{\min}\approx16{,}75. Em projeto de coluna trabalha-se com número inteiro de estágios teóricos; normalmente arredonda-se para cima para garantir a separação. Portanto o número mínimo inteiro de estágios que garante a separação é
N = \lceil 16{,}75\rceil = 17\\ \text{estágios teóricos}.áó
  • Conclusão prática: é preciso projetar a coluna com pelo menos 17 estágios teóricos (ou aumentar a eficiência/usar estágios reais melhores, ou usar outras medidas como reforçar a volatilidade relativa com azeotropadores, ou fazer destilação em mais de um passo). Com apenas 10 estágios a separação desejada \{x_D=0{,}9,\; x_B=0{,}1\} é inviável.

Resposta

a) Não existe razão de refluxo finita que permita a separação desejada com N=10; a razão de refluxo necessária tenderia a \infty (ou seja, refluxo total seria exigido e mesmo assim seriam necessários mais estágios).
b) Pela mesma razão, não há razão de refluxo inicial finita que permita alcançar a separação com apenas N=10; qualquer refluxo finito será insuficiente (a condição exigiria refluxo tendendo a \infty).
c) Não: os 10 estágios são insuficientes. Pelo critério de Fenske o número mínimo de estágios teóricos é N_{\min}\approx16{,}75, portanto são necessários pelo menos 17 estágios teóricos para alcançar \;x_D=0{,}9 e \;x_B=0{,}1 com \alpha=1{,}3.

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