1* Ouestáo (2.5 pontos): Uma mistura binária equimolar que esta
vaporizada deve ser separada, em modo continuo, produzindo um produto de topo com composiçāo molar de 99% o 99% do mais volstíl é recuperado no topo. A volatilidade relativa pode ser considerada constante e igual a 1,3 . Encontre o número de estágios minimos, a razáo de refluxo e o número de estágios da coluna, usando o método do FUG. Díscuta detalhadamente se os resultados são coerentes para o projeto da coluna.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (peguei todos os dados do enunciado):
- Composição do alimento (feed): mistura binária equimolar, ou seja
(fração molar da espécie mais volátil no alimento). - Fração vaporizada do alimento:
vaporizada, então a fração líquida do alimento é . - Recuperação no topo:
do componente mais volátil é recuperado no topo. - Composição do destilado (produto de topo): o enunciado diz “produto de topo com composição molar de
do mais volátil”, portanto . - Volatilidade relativa constante:
(relação entre as constantes de equilíbrio que é assumida constante). - O enunciado pede:
- O número mínimo de estágios teóricos
(Fenske). - A razão de refluxo mínima
(Underwood). - O número de estágios da coluna para um reflux prático (usar Gilliland para relacionar R e N).
- O número mínimo de estágios teóricos
- Observação de balanço que eu fiz com os dados para calcular a composição do fundo:
- Assumo
molar (escolha conveniente). Mols de componente leve no alimento: . - Recuperação
no topo significa moles do leve em : . - Com
, o fluxo de destilado . Logo . - Fração molar do leve no fundo:
(há mol do leve no fundo). - Portanto usei
.
- Assumo
Passo 2
Cálculo do número mínimo de estágios teóricos (
) — fórmula de Fenske.
- Ideia / fórmula: a equação de Fenske (para separação binária ideal com volatilidade relativa constante) dá o número mínimo de estágios teóricos necessários sob refluxo total (situação de
). A fórmula é
Aqui:
-
= fração molar do componente mais volátil no destilado; -
= fração molar do componente mais volátil no fundo; -
= volatilidade relativa (assumida constante); -
é o logaritmo natural. -
Substituindo os valores que identificamos:
-
. -
. - Razão dentro do logaritmo:
. -
. -
.
-
-
Portanto
Interpretação: são necessários, no mínimo, cerca de
estágios teóricos (isso é para refluxo total). Este número inclui normalmente o estágio de reboiler na contagem de estágios teóricos segundo a convenção usual de Fenske.
Passo 3
Cálculo da razão de refluxo mínima (
) — método de Underwood (passo didático).
-
Ideia: Underwood fornece uma forma elegante de obter
para separações com volatilidades constantes sem ter que traçar McCabe–Thiele. A ideia é resolver uma equação para um parâmetro (chamado às vezes de raiz de Underwood) e então calcular por uma soma envolvendo . -
Para sistemas binários com a componente leve indexada por
(volátil) e a pesada por , a volatilidade relativa é e . A equação de Underwood para na condição de refluxo mínimo (feed com quaisquer , mas para cálculo de a equação clássica aplica-se com os ) fica:
No caso binário:
- Substituindo
e :
Multiplicando por
:
Essa equação pode ser resolvida algebricamente. Fazendo as manipulações:
Multiplicando ambos os lados por
e simplificando obtém-se uma equação quadrática que reduz-se a:
As soluções são
e
. A raiz útil para Underwood está entre
e
(pois
), então escolhemos
- Agora a fórmula de Underwood para
(forma prática e direta para sistemas com volatilidade constante) é:
onde
é a composição do destilado para cada componente. Para o componente leve
e para o componente pesado
;
e
.
- Calculando os termos:
- Para o leve:
- Para o pesado:
- Soma =
- Subtraindo 1:
- Para o leve:
Interpretação: a razão de refluxo mínima para esta separação, dada a exigência de
e
e
, é aproximadamente
. Isso é relativamente alto — consequência direta de
pequeno (1{,}3 é uma volatilidade relativa modesta) e da pureza exigida (99%).
Passo 4
Escolha de um reflux prático e estimativa do número de estágios usando Gilliland.
- Em projeto prático normalmente não se opera exatamente em
(energia infinita por estágio); costuma-se escolher um reflux maior que . Uma regra de projeto comum é escolher – vezes . Aqui vou usar (valor razoável para exemplo e para demonstrar o método). Assim:
- Agora usamos a correlação de Gilliland, que relaciona a melhoria em número de estágios com o aumento de reflux. Para trabalhar com Gilliland define-se:
onde
é o número de estágios reais teóricos (o que queremos achar),
é o já calculado, e
são variáveis adimensionais. A correlação original é gráfica, mas existe uma forma explícita aproximada prática (uma expressão empírica que reproduz bem o gráfico de Gilliland). Uma forma explícita comumente usada é:
(Essa é uma aproximação empírica que substitui a leitura da curva de Gilliland.)
- Calcule
:
-
Aplicando a expressão empírica para
: - Numerador interno:
- Denominador interno:
- Fração =
- Exponencial:
- Logo
- Numerador interno:
-
Finalmente recuperar
a partir de :
Substituindo
e
,
Interpretação prática: com
espera-se cerca de
estágios teóricos. Na prática vai-se arredondar para cima (por exemplo, 52 estágios teóricos) e depois converter para número de pratos reais dividindo pela eficiência de prato (se a eficiência típica for, digamos,
–
, o número de pratos reais seria bem maior).
Passo 5
Discussão sobre coerência e considerações de projeto (emocional e prática — vamos com calma!).
- Coerência dos resultados:
-
estágios teóricos é razoável considerando que se exige uma separação muito forte ( e ) com . Quanto menor a volatilidade relativa, mais estágios são necessários. -
é bastante alto: sinal de que a separação é energética; operar próximo de é ineficiente em termos de número de pratos (muitos pratos), operar com reflux maior reduz número de pratos mas aumenta consumo de reboiler/condensador. - Com uma escolha prática
obtivemos estágios teóricos. Isso significa muita coluna: é coerente (e esperado) dado pequeno e purezas exigidas. Em resumo: resultados auto-consistentes entre Fenske–Underwood–Gilliland.
-
- Implicações de projeto:
- Este projeto é energeticamente caro (reflux grande) e mecanicamente complicado (muitos estágios). Para
separar até é difícil. - Considerar alternativas de processo pode ser necessário: coluna em série (pré-concentração), uso de extração, troca de pressão (pressure-swing) ou agentes entranhantes para aumentar a “efetiva” volatilidade, ou aceitar menor pureza e pós-purificação.
- Se for construir com pratos reais, é preciso escolher ou estimar eficiência de prato (
). Ex.: se , número de pratos reais pratos reais — é muita coluna. - Verificar também restrições práticas: queda de pressão por prato, custos, controle, perdas, segurança.
- Este projeto é energeticamente caro (reflux grande) e mecanicamente complicado (muitos estágios). Para
- Observação sobre o feed
: usei apenas para verificar coerência; Underwood tratou a composição no cálculo de . Para o traçado de McCabe–Thiele a posição da linha será relevante, mas o método FUG evita ter que traçar manualmente.
Resposta
Tomando