1* Ouestáo (2.5 pontos): Uma mistura binária equimolar que esta 50 \% vaporizada deve ser separada, em modo continuo, produzindo um produto de topo com composiçāo molar de 99% o 99% do mais volstíl é recuperado no topo. A volatilidade relativa pode ser considerada constante e igual a 1,3 . Encontre o número de estágios minimos, a razáo de refluxo e o número de estágios da coluna, usando o método do FUG. Díscuta detalhadamente se os resultados são coerentes para o projeto da coluna.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (peguei todos os dados do enunciado):
  • Composição do alimento (feed): mistura binária equimolar, ou seja \;z_F=0{,}5 (fração molar da espécie mais volátil no alimento).
  • Fração vaporizada do alimento: 50\% vaporizada, então a fração líquida do alimento é \;q=0{,}5.
  • Recuperação no topo: 99\% do componente mais volátil é recuperado no topo.
  • Composição do destilado (produto de topo): o enunciado diz “produto de topo com composição molar de 99\% do mais volátil”, portanto \;x_D=0{,}99.
  • Volatilidade relativa constante: \;\alpha=1{,}3 (relação entre as constantes de equilíbrio que é assumida constante).
  • O enunciado pede:
    1. O número mínimo de estágios teóricos \;N_{min} (Fenske).
    2. A razão de refluxo mínima \;R_{min} (Underwood).
    3. O número de estágios da coluna para um reflux prático (usar Gilliland para relacionar R e N).
  • Observação de balanço que eu fiz com os dados para calcular a composição do fundo:
    • Assumo F=1 molar (escolha conveniente). Mols de componente leve no alimento: F z_F = 0{,}5.
    • Recuperação 99\% no topo significa moles do leve em D: 0{,}99\times 0{,}5 = 0{,}495.
    • Com x_D=0{,}99, o fluxo de destilado D = 0{,}495/0{,}99 = 0{,}5. Logo B = F - D = 0{,}5.
    • Fração molar do leve no fundo: \;x_B = \dfrac{0{,}005}{0{,}5} = 0{,}01 (há 0{,}5-0{,}495=0{,}005 mol do leve no fundo).
    • Portanto usei \;x_D=0{,}99,\;x_B=0{,}01,\;z_F=0{,}5,\;\alpha=1{,}3,\;q=0{,}5.

Passo 2

Cálculo do número mínimo de estágios teóricos ( N_{min}) — fórmula de Fenske.
  • Ideia / fórmula: a equação de Fenske (para separação binária ideal com volatilidade relativa constante) dá o número mínimo de estágios teóricos necessários sob refluxo total (situação de R\to\infty). A fórmula é
N_{min}=\frac{\ln\!\left(\dfrac{x_D/(1-x_D)}{x_B/(1-x_B)}\right)}{\ln(\alpha)}.
Aqui:
  • \;x_D = fração molar do componente mais volátil no destilado;
  • \;x_B = fração molar do componente mais volátil no fundo;
  • \;\alpha = volatilidade relativa (assumida constante);
  • \ln é o logaritmo natural.
  • Substituindo os valores que identificamos:
    • \dfrac{x_D}{1-x_D}=\dfrac{0{,}99}{0{,}01}=99.
    • \dfrac{x_B}{1-x_B}=\dfrac{0{,}01}{0{,}99}\approx0{,}01010101.
    • Razão dentro do logaritmo: \dfrac{99}{0{,}01010101}=99^2=9801.
    • \ln(9801)=2\ln(99)\approx2\times4{,}59511985=9{,}1902397.
    • \ln(\alpha)=\ln(1{,}3)\approx0{,}26236426.
  • Portanto
N_{min}=\frac{9{,}1902397}{0{,}26236426}\approx35{,}03.
Interpretação: são necessários, no mínimo, cerca de \;35{,}0 estágios teóricos (isso é para refluxo total). Este número inclui normalmente o estágio de reboiler na contagem de estágios teóricos segundo a convenção usual de Fenske.

Passo 3

Cálculo da razão de refluxo mínima ( R_{min}) — método de Underwood (passo didático).
  • Ideia: Underwood fornece uma forma elegante de obter R_{min} para separações com volatilidades constantes sem ter que traçar McCabe–Thiele. A ideia é resolver uma equação para um parâmetro \theta (chamado às vezes de raiz de Underwood) e então calcular R_{min} por uma soma envolvendo \theta.
  • Para sistemas binários com a componente leve indexada por 1 (volátil) e a pesada por 2, a volatilidade relativa é \alpha_1=\alpha e \alpha_2=1. A equação de Underwood para \theta na condição de refluxo mínimo (feed com quaisquer q, mas para cálculo de R_{min} a equação clássica aplica-se com os \;z_F) fica:
\sum_{i=1}^{2} z_{F,i}\,\frac{\alpha_i}{\alpha_i-\theta}=1.
No caso binário:
z_F\frac{\alpha}{\alpha-\theta} + (1-z_F)\frac{1}{1-\theta}=1.
  • Substituindo z_F=0{,}5 e \alpha=1{,}3:
0{,}5\frac{1{,}3}{1{,}3-\theta} + 0{,}5\frac{1}{1-\theta}=1.
Multiplicando por 2:
\frac{1{,}3}{1{,}3-\theta} + \frac{1}{1-\theta}=2.
Essa equação pode ser resolvida algebricamente. Fazendo as manipulações:
\frac{1{,}3}{1{,}3-\theta} = 2 - \frac{1}{1-\theta} = \frac{1-2\theta}{1-\theta}.
Multiplicando ambos os lados por (1{,}3-\theta)(1-\theta) e simplificando obtém-se uma equação quadrática que reduz-se a:
2\theta^2 - 2{,}3\theta = 0 \quad\Rightarrow\quad \theta(2\theta - 2{,}3)=0.
As soluções são \theta=0 e \theta=1{,}15. A raiz útil para Underwood está entre 1 e \alpha (pois \alpha>1), então escolhemos
\theta=1{,}15.
  • Agora a fórmula de Underwood para R_{min} (forma prática e direta para sistemas com volatilidade constante) é:
R_{min}=\sum_{i=1}^2 \frac{\alpha_i x_{D,i}}{\alpha_i - \theta} \;-\; 1,
onde x_{D,i} é a composição do destilado para cada componente. Para o componente leve x_{D,1}=x_D=0{,}99 e para o componente pesado x_{D,2}=1-x_D=0{,}01; \alpha_1=\alpha=1{,}3 e \alpha_2=1.
  • Calculando os termos:
    • Para o leve: \dfrac{\alpha x_D}{\alpha-\theta}=\dfrac{1{,}3\times0{,}99}{1{,}3-1{,}15}=\dfrac{1{,}287}{0{,}15}=8{,}58.
    • Para o pesado: \dfrac{1\times(1-x_D)}{1-\theta}=\dfrac{0{,}01}{1-1{,}15}=\dfrac{0{,}01}{-0{,}15}=-0{,}0666667.
    • Soma = 8{,}58 - 0{,}0666667 = 8{,}5133333.
    • Subtraindo 1:
R_{min}=8{,}5133333 - 1 = 7{,}5133333 \approx 7{,}51.
Interpretação: a razão de refluxo mínima para esta separação, dada a exigência de x_D=0{,}99 e x_B=0{,}01 e \alpha=1{,}3, é aproximadamente \;R_{min}=7{,}51. Isso é relativamente alto — consequência direta de \alpha pequeno (1{,}3 é uma volatilidade relativa modesta) e da pureza exigida (99%).

Passo 4

Escolha de um reflux prático e estimativa do número de estágios usando Gilliland.
  • Em projeto prático normalmente não se opera exatamente em R_{min} (energia infinita por estágio); costuma-se escolher um reflux \;R maior que \;R_{min}. Uma regra de projeto comum é escolher \;R\approx 1{,}2 1{,}6 vezes \;R_{min}. Aqui vou usar \;R=1{,}5\,R_{min} (valor razoável para exemplo e para demonstrar o método). Assim:
R = 1{,}5\times 7{,}5133333 \approx 11{,}27.
  • Agora usamos a correlação de Gilliland, que relaciona a melhoria em número de estágios com o aumento de reflux. Para trabalhar com Gilliland define-se:
X=\frac{R - R_{min}}{R + 1},\qquad Y=\frac{N - N_{min}}{N + 1},
onde N é o número de estágios reais teóricos (o que queremos achar), N_{min} é o já calculado, e X,Y são variáveis adimensionais. A correlação original é gráfica, mas existe uma forma explícita aproximada prática (uma expressão empírica que reproduz bem o gráfico de Gilliland). Uma forma explícita comumente usada é:
Y \approx 1 - \exp\!\left(-\frac{1 + 54{,}4\,X}{11 + 117{,}2\,X}\right).
(Essa é uma aproximação empírica que substitui a leitura da curva de Gilliland.)
  • Calcule X:
X=\frac{11{,}27 - 7{,}5133333}{11{,}27 + 1} =\frac{3{,}7566667}{12{,}27}\approx0{,}30612.
  • Aplicando a expressão empírica para Y:
    • Numerador interno: 1 + 54{,}4 X = 1 + 54{,}4\times 0{,}30612 \approx 17{,}651.
    • Denominador interno: 11 + 117{,}2 X = 11 + 117{,}2\times 0{,}30612 \approx 46{,}866.
    • Fração = 17{,}651/46{,}866 \approx 0{,}3766.
    • Exponencial: \exp(-0{,}3766) \approx 0{,}6862.
    • Logo Y \approx 1 - 0{,}6862 = 0{,}3138.
  • Finalmente recuperar N a partir de Y:
Y=\frac{N - N_{min}}{N + 1}\quad\Rightarrow\quad N=\frac{N_{min} + Y}{1 - Y}.
Substituindo N_{min}\approx35{,}03 e Y\approx0{,}3138,
N=\frac{35{,}03 + 0{,}3138}{1 - 0{,}3138} =\frac{35{,}3438}{0{,}6862}\approx51{,}52.
Interpretação prática: com \;R\approx1{,}5\,R_{min}\approx11{,}27 espera-se cerca de \;51{,}5 estágios teóricos. Na prática vai-se arredondar para cima (por exemplo, 52 estágios teóricos) e depois converter para número de pratos reais dividindo pela eficiência de prato (se a eficiência típica for, digamos, 0{,}6 0{,}8, o número de pratos reais seria bem maior).

Passo 5

Discussão sobre coerência e considerações de projeto (emocional e prática — vamos com calma!).
  • Coerência dos resultados:
    • N_{min}\approx35 estágios teóricos é razoável considerando que se exige uma separação muito forte ( x_D=0{,}99 e x_B=0{,}01) com \alpha=1{,}3. Quanto menor a volatilidade relativa, mais estágios são necessários.
    • R_{min}\approx7{,}51 é bastante alto: sinal de que a separação é energética; operar próximo de R_{min} é ineficiente em termos de número de pratos (muitos pratos), operar com reflux maior reduz número de pratos mas aumenta consumo de reboiler/condensador.
    • Com uma escolha prática R=1{,}5\,R_{min} obtivemos N\approx51{,}5 estágios teóricos. Isso significa muita coluna: é coerente (e esperado) dado \alpha pequeno e purezas exigidas. Em resumo: resultados auto-consistentes entre Fenske–Underwood–Gilliland.
  • Implicações de projeto:
    • Este projeto é energeticamente caro (reflux grande) e mecanicamente complicado (muitos estágios). Para \alpha=1{,}3 separar até 99\% é difícil.
    • Considerar alternativas de processo pode ser necessário: coluna em série (pré-concentração), uso de extração, troca de pressão (pressure-swing) ou agentes entranhantes para aumentar a “efetiva” volatilidade, ou aceitar menor pureza e pós-purificação.
    • Se for construir com pratos reais, é preciso escolher ou estimar eficiência de prato ( \eta). Ex.: se \eta=0{,}7, número de pratos reais \approx N/\eta \approx 51{,}5/0{,}7 \approx 74 pratos reais — é muita coluna.
    • Verificar também restrições práticas: queda de pressão por prato, custos, controle, perdas, segurança.
  • Observação sobre o feed q: usei q=0{,}5 apenas para verificar coerência; Underwood tratou a composição z_F no cálculo de \theta. Para o traçado de McCabe–Thiele a posição da linha q será relevante, mas o método FUG evita ter que traçar manualmente.

Resposta

N_{min}\approx 35{,}03 estágios teóricos (mínimo, refluxo total)
R_{min}\approx 7{,}51 (razão de refluxo mínima)
Tomando R=1{,}5\,R_{min}\approx 11{,}27, o número de estágios teóricos estimado com Gilliland é N\approx 51{,}5 (portanto cerca de 52 estágios teóricos, antes de aplicar eficiência de prato).

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