O grupo esqueceu de medir as alturas inicial,
e final,
, do disco no trecho do movimento. Determine a diferença de altura,
, sofrida pelo disco desde o início do rolamento até a sua passagem pelo sensor. Dica: use o que aprendeu sobre a conservação da energia mecânica neste experimento. Responda com quatro casas decimais e com as unidades no segundo campo.
Passo 1
O enunciado pede que eu determine a diferença de altura
sofrida pelo disco desde o início do rolamento até a sua passagem pelo sensor. As informações explícitas no enunciado são:
- A quantidade a encontrar é
. - A dica diz para usar conservação da energia mecânica.
- Não foram fornecidos valores numéricos (por exemplo velocidade medida no sensor, massa do disco, raio do disco, ou momento de inércia).
Observação: como não há números no enunciado, terei que (a) deduzir a fórmula geral que permite obtera partir de grandezas que normalmente se medem no experimento e (b) informar que não é possível dar um valor numérico final enquanto essas medidas não forem fornecidas.
Passo 2
Entendendo o princípio físico (aula curta e prática).
- A conservação da energia mecânica diz que, na ausência de trabalho de forças não conservativas (atrito que não faça perda de energia útil, perdas por dissipação desprezíveis), a variação da energia potencial gravitacional do corpo se transforma em energia cinética translacional e rotacional.
- Energia potencial gravitacional: para um corpo de massa
a uma altura a energia é , onde é a aceleração da gravidade ( , mas mantenho simbólico por enquanto). - Energia cinética translacional: para velocidade do centro de massa
, . - Energia cinética rotacional: para um corpo com momento de inércia
e velocidade angular , . - Para rolamento sem escorregamento, a relação entre velocidade linear e angular é
, onde é o raio do disco.
Passo 3
Escrevendo o balanço de energia entre o instante “início do rolamento” (ponto 1) e o instante “passagem pelo sensor” (ponto 2).
- Energia no ponto 1:
. - Energia no ponto 2:
.
Se no início do rolamento o disco parte do repouso (hipótese comum: “início do rolamento” = começa a descer a partir do repouso), então. Se não parte do repouso, haveria termos de energia cinética inicial e o procedimento abaixo se adapta incluindo esses termos; eu explico o caso mais usado (partida do repouso).
Pela conservação de energia (desprezando perdas não recuperáveis):
Passo 4
Substituindo e isolando
.
- Com
e e usando , temos:
- Subtraindo
dos dois lados e dividindo por para obter :
- Simplificando (colocando
em evidência):
Esta é a fórmula geral que usamos: para obter
precisamos conhecer a velocidade do centro de massa
no ponto onde o sensor mede, a massa
e o momento de inércia
do disco (ou, mais prático, conhecer a razão
).
Passo 5
Aplicando ao caso usual de um disco uniforme (caso prático).
- Para um disco sólido homogêneo, o momento de inércia em relação ao eixo central é
. - Substituindo em
obtemos . - Portanto, para um disco sólido uniforme:
Isso significa que, se você medir a velocidade
do centro de massa na passagem pelo sensor e assumir disco sólido, basta calcular
.
Passo 6
Como transformar a fórmula em um número com quatro casas decimais (instrução prática).
- Meça
em . - Use
(ou o valor local que o laboratório informar). - Calcule
com a fórmula apropriada. Por exemplo, se o disco for sólido:
- Apresente o resultado com quatro casas decimais e, em linha separada, a unidade (por ex.:
então em segunda linha ).
Observação final e importante: sem o valor medido de(ou sem outra medida equivalente) não é possível fornecer o valor numérico pedido.
Resposta
Não é possível determinar numericamente
porque o enunciado não fornece a velocidade
medida no sensor (nem outras informações numéricas).