O grupo esqueceu de medir as alturas inicial, h_{1} e final, h_{2}, do disco no trecho do movimento. Determine a diferença de altura, \Delta h=h_{1}-h_{2}, sofrida pelo disco desde o início do rolamento até a sua passagem pelo sensor. Dica: use o que aprendeu sobre a conservação da energia mecânica neste experimento. Responda com quatro casas decimais e com as unidades no segundo campo.
\Delta h=\square

Passo 1

O enunciado pede que eu determine a diferença de altura \Delta h = h_{1}-h_{2} sofrida pelo disco desde o início do rolamento até a sua passagem pelo sensor. As informações explícitas no enunciado são:
  • A quantidade a encontrar é \Delta h=h_{1}-h_{2}.
  • A dica diz para usar conservação da energia mecânica.
  • Não foram fornecidos valores numéricos (por exemplo velocidade medida no sensor, massa do disco, raio do disco, ou momento de inércia).
    Observação: como não há números no enunciado, terei que (a) deduzir a fórmula geral que permite obter \Delta h a partir de grandezas que normalmente se medem no experimento e (b) informar que não é possível dar um valor numérico final enquanto essas medidas não forem fornecidas.

Passo 2

Entendendo o princípio físico (aula curta e prática).
  • A conservação da energia mecânica diz que, na ausência de trabalho de forças não conservativas (atrito que não faça perda de energia útil, perdas por dissipação desprezíveis), a variação da energia potencial gravitacional do corpo se transforma em energia cinética translacional e rotacional.
  • Energia potencial gravitacional: para um corpo de massa m a uma altura h a energia é \displaystyle E_{\text{pot}} = m g h, onde \displaystyle g é a aceleração da gravidade ( \approx 9{,}81\\ \text{m/s}^2, mas mantenho simbólico por enquanto).
  • Energia cinética translacional: para velocidade do centro de massa \displaystyle v, \displaystyle E_{\text{trans}}=\tfrac{1}{2} m v^{2}.
  • Energia cinética rotacional: para um corpo com momento de inércia \displaystyle I e velocidade angular \displaystyle \omega, \displaystyle E_{\text{rot}}=\tfrac{1}{2} I \omega^{2}.
  • Para rolamento sem escorregamento, a relação entre velocidade linear e angular é \displaystyle \omega=\dfrac{v}{R}, onde \displaystyle R é o raio do disco.

Passo 3

Escrevendo o balanço de energia entre o instante “início do rolamento” (ponto 1) e o instante “passagem pelo sensor” (ponto 2).
  • Energia no ponto 1: \displaystyle E_{1}=m g h_{1} + E_{\text{cin1}}.
  • Energia no ponto 2: \displaystyle E_{2}=m g h_{2} + E_{\text{cin2}}.
    Se no início do rolamento o disco parte do repouso (hipótese comum: “início do rolamento” = começa a descer a partir do repouso), então E_{\text{cin1}}=0. Se não parte do repouso, haveria termos de energia cinética inicial e o procedimento abaixo se adapta incluindo esses termos; eu explico o caso mais usado (partida do repouso).
    Pela conservação de energia (desprezando perdas não recuperáveis):
E_{1}=E_{2}.

Passo 4

Substituindo e isolando \Delta h.
  • Com E_{\text{cin1}}=0 e E_{\text{cin2}}=\tfrac{1}{2} m v^{2}+\tfrac{1}{2} I \omega^{2} e usando \omega=\dfrac{v}{R}, temos:
m g h_{1} \;=\; m g h_{2} \;+\; \tfrac{1}{2} m v^{2} \;+\; \tfrac{1}{2} I\left(\dfrac{v}{R}\right)^{2}.
  • Subtraindo m g h_{2} dos dois lados e dividindo por m g para obter \Delta h=h_{1}-h_{2}:
\Delta h = \dfrac{1}{m g}\left(\tfrac{1}{2} m v^{2} + \tfrac{1}{2} I \dfrac{v^{2}}{R^{2}}\right).
  • Simplificando (colocando v^{2} em evidência):
\Delta h = \dfrac{v^{2}}{2 g}\left(1 + \dfrac{I}{m R^{2}}\right).
Esta é a fórmula geral que usamos: para obter \Delta h precisamos conhecer a velocidade do centro de massa v no ponto onde o sensor mede, a massa m e o momento de inércia I do disco (ou, mais prático, conhecer a razão I/(mR^{2})).

Passo 5

Aplicando ao caso usual de um disco uniforme (caso prático).
  • Para um disco sólido homogêneo, o momento de inércia em relação ao eixo central é \displaystyle I=\tfrac{1}{2} m R^{2}.
  • Substituindo em \displaystyle 1+\dfrac{I}{mR^{2}} obtemos 1 + \dfrac{1}{2} = \dfrac{3}{2}.
  • Portanto, para um disco sólido uniforme:
\Delta h = \dfrac{v^{2}}{2 g}\cdot \dfrac{3}{2} \;=\; \dfrac{3 v^{2}}{4 g}.
Isso significa que, se você medir a velocidade \displaystyle v do centro de massa na passagem pelo sensor e assumir disco sólido, basta calcular \displaystyle \Delta h=\dfrac{3 v^{2}}{4 g}.

Passo 6

Como transformar a fórmula em um número com quatro casas decimais (instrução prática).
  • Meça \displaystyle v em \text{m/s}.
  • Use \displaystyle g=9{,}81\\ \text{m/s}^{2} (ou o valor local que o laboratório informar).
  • Calcule \displaystyle \Delta h com a fórmula apropriada. Por exemplo, se o disco for sólido:
\Delta h = \dfrac{3 v^{2}}{4 g}.
  • Apresente o resultado com quatro casas decimais e, em linha separada, a unidade (por ex.: \,0{,}1234 então em segunda linha \text{m}).
    Observação final e importante: sem o valor medido de \displaystyle v (ou sem outra medida equivalente) não é possível fornecer o valor numérico pedido.

Resposta

Não é possível determinar numericamente \Delta h porque o enunciado não fornece a velocidade \,v medida no sensor (nem outras informações numéricas).

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