Seja
um grupo. Mostre que existe exatamente um elemento
tal que
.
Passo 1
O enunciado nos dá exatamente isto:
- Há um grupo
. - Queremos mostrar que existe exatamente um elemento
tal que .
Informações relevantes (que vêm do fato deser um grupo): - Existe um elemento identidade
tal que, para todo , . - Para cada
existe um inverso tal que . - A operação
é associativa: para quaisquer vale .
O que o enunciado pede, em linguagem clara:
- Provar que pelo menos um elemento
com existe (existência). - Provar que não existe outro além desse (unicidade), ou seja, que esse elemento é único.
Passo 2
Primeiro vamos tratar a existência. Lembrete: a notação
significa
(isto é, multiplicar
por si mesmo usando a operação do grupo).
Considere o elemento identidade
do grupo (ele existe por definição de grupo). Vamos verificar
:
Pelo fato de
ser identidade,
. Portanto
Conclusão parcial: existe pelo menos um elemento de
com a propriedade
, a saber o elemento identidade
.
Passo 3
Agora vamos mostrar unicidade: qualquer elemento
que satisfaça
deve ser necessariamente igual a
. Isso prova que não há mais do que um tal elemento.
Seja
tal que
. Vamos usar o inverso de
(que existe porque
é grupo) e a associatividade para simplificar a igualdade:
começamos multiplicando a igualdade à esquerda por
. Assim:
começamos multiplicando a igualdade
Agora, usando associatividade no lado esquerdo,
. Mas
, logo
No lado direito temos
. Portanto a igualdade inicial dá
Assim qualquer
com
é igual a
. Em particular, se existissem dois elementos
e
com
e
, então ambos seriam iguais a
, logo coincidem. Isso prova a unicidade.
Passo 4
Resumo didático rápido (para você aplicar na prova): a equação
em um grupo significa
. O elemento identidade
sempre satisfaz isso (porque
), então existe solução. Para ver que não há outra, use o inverso e associatividade: multiplique à esquerda por
para “cancelar” um dos fatores
e obtenha
. Essa técnica — multiplicar por inverso para cancelar — é o caminho padrão para mostrar unicidade de soluções em grupos.
Força aí: a ideia central é sempre tentar usar o inverso para cancelar e a identidade para reconhecer o resultado.