Seja (G, *) um grupo. Mostre que existe exatamente um elemento x \in G tal que x^{2}=x.

Passo 1

O enunciado nos dá exatamente isto:
  • Há um grupo (G, *).
  • Queremos mostrar que existe exatamente um elemento x\in G tal que x^{2}=x.
    Informações relevantes (que vêm do fato de (G,*) ser um grupo):
  • Existe um elemento identidade e\in G tal que, para todo a\in G, e * a = a * e = a.
  • Para cada a\in G existe um inverso a^{-1}\in G tal que a^{-1} * a = a * a^{-1} = e.
  • A operação * é associativa: para quaisquer a,b,c\in G vale (a*b)*c = a*(b*c).
O que o enunciado pede, em linguagem clara:
  • Provar que pelo menos um elemento x com x^{2}=x existe (existência).
  • Provar que não existe outro além desse (unicidade), ou seja, que esse elemento é único.

Passo 2

Primeiro vamos tratar a existência. Lembrete: a notação x^{2} significa x * x (isto é, multiplicar x por si mesmo usando a operação do grupo).
Considere o elemento identidade e do grupo (ele existe por definição de grupo). Vamos verificar e^{2}:
e^{2} = e * e.
Pelo fato de e ser identidade, e * e = e. Portanto
e^{2} = e.
Conclusão parcial: existe pelo menos um elemento de G com a propriedade x^{2}=x, a saber o elemento identidade e.

Passo 3

Agora vamos mostrar unicidade: qualquer elemento x\in G que satisfaça x^{2}=x deve ser necessariamente igual a e. Isso prova que não há mais do que um tal elemento.
Seja x\in G tal que x^{2}=x. Vamos usar o inverso de x (que existe porque G é grupo) e a associatividade para simplificar a igualdade:
começamos multiplicando a igualdade x^{2}=x à esquerda por x^{-1}. Assim:
x^{-1} * x^{2} = x^{-1} * x.
Agora, usando associatividade no lado esquerdo, x^{-1} * x^{2} = x^{-1} * (x * x) = (x^{-1} * x) * x. Mas x^{-1} * x = e, logo
(x^{-1} * x) * x = e * x = x.
No lado direito temos x^{-1} * x = e. Portanto a igualdade inicial dá
x = e.
Assim qualquer x com x^{2}=x é igual a e. Em particular, se existissem dois elementos x e y com x^{2}=x e y^{2}=y, então ambos seriam iguais a e, logo coincidem. Isso prova a unicidade.

Passo 4

Resumo didático rápido (para você aplicar na prova): a equação x^{2}=x em um grupo significa x*x=x. O elemento identidade e sempre satisfaz isso (porque e*e=e), então existe solução. Para ver que não há outra, use o inverso e associatividade: multiplique à esquerda por x^{-1} para “cancelar” um dos fatores x e obtenha x=e. Essa técnica — multiplicar por inverso para cancelar — é o caminho padrão para mostrar unicidade de soluções em grupos.
Força aí: a ideia central é sempre tentar usar o inverso para cancelar e a identidade para reconhecer o resultado.

Resposta

x=e

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