Um grupo de nove pessoas, sendo duas delas irmãs, deverá formar três equipes, com respectivamente dois, três e quatro integrantes. Sabendo que as duas pessoas irmãs não podem ficar na mesma equipe, o número de equipes que podem ser organizadas é:
A) 288
B) 455 C
D) 910 E) 960
A) 288
B) 455 C
D) 910 E) 960
Passo 1
Beleza, vamos recapitular o que a questão pede.
Temos 9 pessoas, duas delas são irmãs, e queremos montar 3 equipes de tamanhos fixos 2, 3 e 4. A regra extra é que essas duas irmãs não podem ficar na mesma equipe.
Conteúdo: combinatória (combinações), princípio fundamental da contagem e contagem com restrição.
O que vamos usar: fórmula de combinação
Temos 9 pessoas, duas delas são irmãs, e queremos montar 3 equipes de tamanhos fixos 2, 3 e 4. A regra extra é que essas duas irmãs não podem ficar na mesma equipe.
Conteúdo: combinatória (combinações), princípio fundamental da contagem e contagem com restrição.
O que vamos usar: fórmula de combinação
e o truque de “total sem restrição menos casos indesejados”.
Passo 2
Primeiro, conta quantas divisões existem se a gente ignorar a regra das irmãs.
- Escolher os 2 da equipe de tamanho 2:
- Com os 7 que restam, escolher 3 para a equipe de tamanho 3:
- Os 4 restantes vão para a equipe de tamanho 4 (só 1 jeito):
Logo, total sem restrição =
Passo 3
Agora vamos contar quantos arranjos deixam as irmãs juntas (esses a gente vai tirar depois):
a) As duas no time de 2:
• Só há 1 jeito de escolher as duas irmãs para esse time.
• Depois sobra 7 gente; para o time de 3: .
• E o time de 4 é automático.
→ Casos = 35
• Só há 1 jeito de escolher as duas irmãs para esse time.
• Depois sobra 7 gente; para o time de 3:
• E o time de 4 é automático.
→ Casos = 35
b) As duas no time de 3:
• Colocamos as irmãs + mais 1 de 7: .
• Sobram 6 pessoas; para o time de 2: .
• O time de 4 fica com os 4 restantes.
→ Casos =
• Colocamos as irmãs + mais 1 de 7:
• Sobram 6 pessoas; para o time de 2:
• O time de 4 fica com os 4 restantes.
→ Casos =
c) As duas no time de 4:
• Colocamos as irmãs + mais 2 de 7: .
• Sobram 5 pessoas; para o time de 2: .
• E os 3 restantes vão para o time de 3.
→ Casos =
• Colocamos as irmãs + mais 2 de 7:
• Sobram 5 pessoas; para o time de 2:
• E os 3 restantes vão para o time de 3.
→ Casos =
Total de casos indesejados (irmãs juntas) =
.
Passo 4
Agora é só subtrair:
Resposta
910