Um grupo de nove pessoas, sendo duas delas irmãs, deverá formar três equipes, com respectivamente dois, três e quatro integrantes. Sabendo que as duas pessoas irmãs não podem ficar na mesma equipe, o número de equipes que podem ser organizadas é:
A) 288
B) 455 C ) 480
D) 910 E) 960

Passo 1

Beleza, vamos recapitular o que a questão pede.
Temos 9 pessoas, duas delas são irmãs, e queremos montar 3 equipes de tamanhos fixos 2, 3 e 4. A regra extra é que essas duas irmãs não podem ficar na mesma equipe.
Conteúdo: combinatória (combinações), princípio fundamental da contagem e contagem com restrição.
O que vamos usar: fórmula de combinação
C(n,k) ;=;n!k!,(n-k)!
e o truque de “total sem restrição menos casos indesejados”.

Passo 2

Primeiro, conta quantas divisões existem se a gente ignorar a regra das irmãs.
  1. Escolher os 2 da equipe de tamanho 2: C(9,2)
  2. Com os 7 que restam, escolher 3 para a equipe de tamanho 3: C(7,3)
  3. Os 4 restantes vão para a equipe de tamanho 4 (só 1 jeito): C(4,4)=1
Logo, total sem restrição =
C(9,2)times C(7,3)times 1 ;=;36times35 ;=;1260

Passo 3

Agora vamos contar quantos arranjos deixam as irmãs juntas (esses a gente vai tirar depois):
a) As duas no time de 2:
• Só há 1 jeito de escolher as duas irmãs para esse time.
• Depois sobra 7 gente; para o time de 3: .
• E o time de 4 é automático.
→ Casos = 35
b) As duas no time de 3:
• Colocamos as irmãs + mais 1 de 7: .
• Sobram 6 pessoas; para o time de 2: .
• O time de 4 fica com os 4 restantes.
→ Casos =
c) As duas no time de 4:
• Colocamos as irmãs + mais 2 de 7: .
• Sobram 5 pessoas; para o time de 2: .
• E os 3 restantes vão para o time de 3.
→ Casos =
Total de casos indesejados (irmãs juntas) = .

Passo 4

Agora é só subtrair:
válidos ;=;1260 - 350 ;=;910 á

Resposta

910

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