Quantos são os números de 7 dígitos nos quais o dígito 4 figura exatamente 3 vezes, e o dígito 8 exatamente 2 vezes?

Passo 1

Beleza, o que a questão tá pedindo? A gente quer contar quantos números de 7 dígitos (ou seja, o primeiro dígito não pode ser zero) têm exatamente três algarismos “4” e exatamente dois algarismos “8”. Sobram 2 dígitos que podem ser qualquer outro algarismo (menos 4 e 8).
Conteúdo: combinatória (princípio multiplicativo e arranjos com repetição). Vamos precisar de:
  • escolher posições para os 4 e para os 8;
  • preencher as posições restantes com outros dígitos;
  • cuidar da restrição “primeiro dígito ≠ 0”.

Passo 2

Primeiro, conto quantos “números” (sequências de 7 dígitos) satisfazem só a condição de ter 3 vezes o 4 e 2 vezes o 8, sem olhar ainda pro zero.
  1. Escolher as 3 posições dos dígitos “4”: binom73,times,binom42,times,8^2 = 35 times 6 times 64 = 13,440 .
  2. Das 4 posições que restam, escolher 2 para os “8”: .
  3. Nas 2 posições que sobraram, colocar qualquer dígito dentre os 8 restantes (0,1,2,3,5,6,7,9): .
    Pela regra do produto:

Passo 3

Agora preciso tirar os casos em que o primeiro dígito é zero (porque aí não seria um número de 7 dígitos).
Para isso:
  1. Fixo a casa 1 como “0”.
  2. Nas outras 6 casas, ainda temos que pôr 3 “4” e 2 “8” e sobra 1 vaga pra um dígito “outro” (que não seja 0,4,8): há 7 opções (1,2,3,5,6,7,9).
  3. Número de modos de arranjar isso nas 6 casas:
    • escolher 3 para o “4”: binom63timesbinom32times 7 = 20 times 3 times 7 = 420 ,
    • escolher 2 das 3 vagas restantes para o “8”: ,
    • o último dígito (1 vaga) tem 7 escolhas.
      Logo, inválidos =

Passo 4

Basta subtrair os inválidos do total que tínhamos:
13,440 ;-; 420 ;=; 13,020

Resposta

O número de números de 7 dígitos com exatamente três 4’s, dois 8’s e levando em conta que o primeiro dígito não pode ser zero é 13 020.

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