Quantos são os números de 7 dígitos nos quais o dígito 4 figura exatamente 3 vezes, e o dígito 8 exatamente 2 vezes?
Passo 1
Beleza, o que a questão tá pedindo? A gente quer contar quantos números de 7 dígitos (ou seja, o primeiro dígito não pode ser zero) têm exatamente três algarismos “4” e exatamente dois algarismos “8”. Sobram 2 dígitos que podem ser qualquer outro algarismo (menos 4 e 8).
Conteúdo: combinatória (princípio multiplicativo e arranjos com repetição). Vamos precisar de:
Conteúdo: combinatória (princípio multiplicativo e arranjos com repetição). Vamos precisar de:
- escolher posições para os 4 e para os 8;
- preencher as posições restantes com outros dígitos;
- cuidar da restrição “primeiro dígito ≠ 0”.
Passo 2
Primeiro, conto quantos “números” (sequências de 7 dígitos) satisfazem só a condição de ter 3 vezes o 4 e 2 vezes o 8, sem olhar ainda pro zero.
- Escolher as 3 posições dos dígitos “4”:
. - Das 4 posições que restam, escolher 2 para os “8”:
. - Nas 2 posições que sobraram, colocar qualquer dígito dentre os 8 restantes (0,1,2,3,5,6,7,9):
.
Pela regra do produto:
Passo 3
Agora preciso tirar os casos em que o primeiro dígito é zero (porque aí não seria um número de 7 dígitos).
Para isso:
Para isso:
- Fixo a casa 1 como “0”.
- Nas outras 6 casas, ainda temos que pôr 3 “4” e 2 “8” e sobra 1 vaga pra um dígito “outro” (que não seja 0,4,8): há 7 opções (1,2,3,5,6,7,9).
- Número de modos de arranjar isso nas 6 casas:
- escolher 3 para o “4”:
, - escolher 2 das 3 vagas restantes para o “8”:
, - o último dígito (1 vaga) tem 7 escolhas.
Logo, inválidos =
- escolher 3 para o “4”:
Passo 4
Basta subtrair os inválidos do total que tínhamos:
Resposta
O número de números de 7 dígitos com exatamente três 4’s, dois 8’s e levando em conta que o primeiro dígito não pode ser zero é 13 020.