Um gafanhoto pula exatamente 1 metro. Ele está em um ponto A de uma reta, só pula sobre ela, e deseja atingir um ponto B dessa mesma reta que está a 5 metros de distância de A com exatamente 9 pulos. De quantas maneiras ele pode fazer isso?
A) 16 B) 18 C) 24 D) 36 E) 48

Passo 1

O enunciado diz que um gafanhoto, que só pula exatamente 1 m para a direita ou para a esquerda, parte de um ponto A e quer chegar em B, que está 5 m à direita de A, usando exatamente 9 pulos.
Conteúdo: princípio da contagem e coeficiente binomial.
O que vamos precisar: modelar cada pulo como +1 m (direita) ou –1 m (esquerda) e contar de quantas sequências de 9 sinais ±1 a soma final dá +5.

Passo 2

Vamos traduzir cada pulo em +1 (se pular para a direita) ou –1 (para a esquerda).
Se ele der (+1)times p + (-1)times n = p - n, pulos para a direita e p + n = 9 para a esquerda, a soma total de deslocamento é
e o número total de pulos é

Passo 3

Como o gafanhoto precisa avançar 5 m no total, temos o sistema
p - n = 5, p + n = 9
Somando ambas as equações:
2p = 14 ;Longrightarrow; p = 7
Logo .
Isso significa que, em cada sequência válida, ele faz exatamente 7 pulos para a direita e 2 para a esquerda.

Passo 4

Agora contamos de quantas maneiras escolher quais 7 pulos (entre os 9) vão ser “para a direita”. Isso é um coeficiente binomial:
binom97 =9!7!,2!
Para quem não lembra, binom97 =9times82times1 =36 é o número de formas de escolher 7 itens dentre 9, dado por

Resposta

36 (alternativa D)

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