Um gafanhoto pula exatamente 1 metro. Ele está em um ponto
de uma reta, só pula sobre ela, e deseja atingir um ponto
dessa mesma reta que está a 5 metros de distância de
com exatamente 9 pulos. De quantas maneiras ele pode fazer isso?
A) 16 B) 18 C) 24 D) 36 E) 48
A) 16 B) 18 C) 24 D) 36 E) 48
Passo 1
O enunciado diz que um gafanhoto, que só pula exatamente 1 m para a direita ou para a esquerda, parte de um ponto A e quer chegar em B, que está 5 m à direita de A, usando exatamente 9 pulos.
Conteúdo: princípio da contagem e coeficiente binomial.
O que vamos precisar: modelar cada pulo como +1 m (direita) ou –1 m (esquerda) e contar de quantas sequências de 9 sinais ±1 a soma final dá +5.
Conteúdo: princípio da contagem e coeficiente binomial.
O que vamos precisar: modelar cada pulo como +1 m (direita) ou –1 m (esquerda) e contar de quantas sequências de 9 sinais ±1 a soma final dá +5.
Passo 2
Vamos traduzir cada pulo em +1 (se pular para a direita) ou –1 (para a esquerda).
Se ele der pulos para a direita e
para a esquerda, a soma total de deslocamento é
Se ele der
e o número total de pulos é
Passo 3
Como o gafanhoto precisa avançar 5 m no total, temos o sistema
Somando ambas as equações:
Logo
.
Isso significa que, em cada sequência válida, ele faz exatamente 7 pulos para a direita e 2 para a esquerda.
Isso significa que, em cada sequência válida, ele faz exatamente 7 pulos para a direita e 2 para a esquerda.
Passo 4
Agora contamos de quantas maneiras escolher quais 7 pulos (entre os 9) vão ser “para a direita”. Isso é um coeficiente binomial:
Para quem não lembra,
é o número de formas de escolher 7 itens dentre 9, dado por
Resposta
36 (alternativa D)