Num grupo de pacientes, o nível de colestrol é uma variável aleatória Y com distribuição Normal de média desconhecida e variância 64 (\mathrm{mg} / \mathrm{ml})^{2}.
(indicado como 16 no vídeo de resolução de exercícios) Para uma amostra de 46 indivíduos, que forneceu um nível médio de colesterol de 120 \mathrm{mg} / \mathrm{ml}, calcule o intervalo com 95 \% de confiança para a média populacional.

Passo 1

O enunciado pede: calcular o intervalo de confiança com 95\% para a média populacional do nível de colesterol. Informações dadas:
\text{população: }Y\sim N(\text{média desconhecida},\; \text{variância}=64\\ (\mathrm{mg}/\mathrm{ml})^{2})çãéâ
\text{amostra: }n=46,\qquad \bar{Y}=120\\ \mathrm{mg}/\mathrm{ml}
\text{nível de confiança: }95\%íç

Passo 2

Entendendo o que precisamos calcular e a fórmula geral. Um intervalo de confiança de 100(1-\alpha)\% para a média populacional, quando a variância populacional \sigma^2 é conhecida, é dado por
\bar{Y}\pm z_{1-\alpha/2}\,\frac{\sigma}{\sqrt{n}}.
Expliquei cada símbolo:
  • \bar{Y} é a média amostral (aqui \bar{Y}=120).
  • \sigma é o desvio padrão populacional (aqui \sigma=\sqrt{64}).
  • n é o tamanho da amostra (aqui n=46).
  • z_{1-\alpha/2} é o quantil da distribuição Normal padrão que deixa área \alpha/2 na cauda superior; para 95\% de confiança temos \alpha=0,05 e z_{0,975} é usado.
Por que usar essa fórmula (e não a do t)? Porque a variância populacional foi dada (igual a 64), ou seja, \sigma é conhecida; então a distribuição da média amostral é exatamente Normal com desvio padrão \sigma/\sqrt{n} e usamos o quantil da Normal padrão z.

Passo 3

Determinar os valores numéricos necessários. Primeiro o desvio padrão populacional:
\sigma=\sqrt{64}=8\\ \mathrm{mg}/\mathrm{ml}.
O valor crítico para 95\% de confiança é (tabela da Normal padrão)
z_{0,975}=1,96.

Passo 4

Calcular o erro padrão (desvio padrão da média amostral):
\text{erro padrão}=\frac{\sigma}{\sqrt{n}}=\frac{8}{\sqrt{46}}.ã
Aproximação de \sqrt{46}:
\sqrt{46}\approx 6,7823,
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\frac{8}{\sqrt{46}}\approx \frac{8}{6,7823}\approx 1,1799\\ \mathrm{mg}/\mathrm{ml}.

Passo 5

Calcular a margem de erro multiplicando o erro padrão pelo quantil z:
\text{margem}=z_{0,975}\cdot\frac{\sigma}{\sqrt{n}}=1,96\cdot 1,1799\approx 2,3126\\ \mathrm{mg}/\mathrm{ml}.
(Arredondei a margem para quatro casas decimais durante o cálculo e depois farei o arredondamento final.)

Passo 6

Calcular os limites do intervalo somando e subtraindo a margem de erro à média amostral:
\text{limite inferior}=120-2,3126\approx 117,6874\\ \mathrm{mg}/\mathrm{ml},
\text{limite superior}=120+2,3126\approx 122,3126\\ \mathrm{mg}/\mathrm{ml}.
Arredondando os limites para duas casas decimais (forma usual):
\text{intervalo de }95\%\\ \text{de confiança}\approx [117,69;\;122,31]\\ \mathrm{mg}/\mathrm{ml}.ç

Passo 7

Interpretação rápida (para você levar pra prova): dizer que o intervalo é [117,69;\;122,31]\\ \mathrm{mg}/\mathrm{ml} significa que, com o procedimento usado (amostrar e calcular este tipo de intervalo), em aproximadamente 95\% das repetições o intervalo calculado conteria a verdadeira média populacional. Não diz que a probabilidade da média estar nesse intervalo é 95\% para a amostra já feita; é uma afirmação sobre o procedimento repetido.

Resposta

[117,69;\;122,31]\\ \mathrm{mg}/\mathrm{ml}

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