Antes de uma eleição, um determinado partido está interessado em estimar a probabilidade
de eleitores favoráveis ao seu candidato. Uma amostra piloto de tamanho 100 revelou que
dos eleitores eram favoráveis ao candidato.
a) Utilizando a informação da amostra piloto, determine o tamanho da amostra para que, com 0.8 de probabilidade, o erro cometido na estimação seja de no máximo 0.05 .
b) Se na amostra final, com o tamanho obtido no item anterior, observou-se que
dos eleitores eram favoráveis ao candidato, construa um intervalo de confiança para
, com confiança de
.
c) Decidiu-se coletar uma amostra de tamanho 150. Qual o erro máximo (margem de erro) que cometemos com probabilidade de 0.95 e
igual ao dado no item anterior?
d) Qual a influência do tamanho da amostra na amplitude do intervalo de confiança, considerando fixados
e o nível de confiança em 0.95 ?
a) Utilizando a informação da amostra piloto, determine o tamanho da amostra para que, com 0.8 de probabilidade, o erro cometido na estimação seja de no máximo 0.05 .
b) Se na amostra final, com o tamanho obtido no item anterior, observou-se que
c) Decidiu-se coletar uma amostra de tamanho 150. Qual o erro máximo (margem de erro) que cometemos com probabilidade de 0.95 e
d) Qual a influência do tamanho da amostra na amplitude do intervalo de confiança, considerando fixados
Passo 1
O enunciado pede quatro coisas e fornece as seguintes informações:
- Uma amostra piloto de tamanho
com proporção observada de eleitores favoráveis igual a . Ou seja, a estimativa piloto é com . - Item (a): determinar o tamanho da amostra
tal que, com probabilidade , o erro absoluto na estimação da proporção seja, no máximo, . - Item (b): usando o tamanho
do item (a), e observando na amostra final , construir um intervalo de confiança para com nível de confiança . - Item (c): supondo que se coletou uma amostra de tamanho
, calcular o erro máximo (margem de erro) que temos com probabilidade quando . - Item (d): explicar a influência do tamanho da amostra na amplitude do intervalo de confiança, mantendo
e nível de confiança .
Passo 2
Entendendo a ferramenta que vamos usar (explicação didática):
- Quando temos uma amostra aleatória de tamanho
e definimos a proporção amostral , o Teorema do Limite Central dá a aproximação
Isto significa que a distribuição de
é aproximadamente normal com média
e desvio padrão (erro padrão)
- Se quisermos que a probabilidade de erro absoluto não ultrapassar uma tolerância
seja igual a um certo valor (por exemplo ou ), então, aproximando pela normal padrão , temos
- Daí obtemos a equação para
:
onde
é o quantil da normal padrão (por exemplo
para
, porque
).
- Quando
é desconhecido, podemos usar a estimativa piloto como aproximação de . Isso é comum para escolher .
Passo 3
Resolvendo o item (a) passo a passo:
- Queremos
. Assim e implica . - O quantil correspondente é
. Usamos o valor aproximado . - Substituindo
no lugar de e isolando na fórmula:
- Isolando
:
- Calculemos passo a passo (mostrando as contas para você reproduzir na prova sem calculadora avançada):
- Como
precisa ser inteiro e queremos garantir a condição (ou seja, não subestimar o tamanho), arredondamos para cima:
(Conclusão do item (a): tamanho da amostra
.)
Passo 4
Resolvendo o item (b): intervalo de confiança de
com
e
.
- Fórmula do intervalo de confiança assintótico para proporção (nível
):
Aqui
.
- Calculemos o erro padrão usando
e :
- A margem de erro é
- Portanto o intervalo de confiança é
ou seja
- Arredondando de forma usual (duas ou três casas decimais) podemos apresentar
Passo 5
Resolvendo o item (c): erro máximo com probabilidade
para
e
.
- Agora interpretamos "erro máximo com probabilidade
" como encontrar tal que
- Assim
e . - A fórmula direta é
- Substituindo
e :
- Assim o erro máximo (margem) é aproximadamente
, ou seja cerca de (8,0%).
Passo 6
Resolvendo o item (d): influência do tamanho da amostra na amplitude do intervalo de confiança (com
e nível
fixos) — explicação didática e exemplos numéricos.
- A amplitude (ou largura) total do intervalo de confiança é
- Note que
e são mantidos fixos, portanto a dependência do tamanho da amostra é
Isto significa:
- Se você multiplicar
por , a amplitude cai pela metade (porque ). - Se você multiplicar
por , a amplitude diminui em um fator (redução de cerca de ). - Há retornos decrescentes: aumentar
muito reduz a amplitude, mas para reduzir a amplitude pela metade é necessário quadruplicar a amostra (custa bastante). - Exemplos numéricos com
e : - Para
(do item (c)), amplitude (≈ pontos percentuais). - Para
(item (b)), amplitude (≈ pontos percentuais). - Se quiséssemos metade da amplitude de
(isto é ~ amplitude total desejada), precisaríamos de aproximadamente vezes maior, ou seja cerca de observações.
- Para
- Conclusão prática e motivadora: aumentar
melhora a precisão (reduz a amplitude do intervalo), mas a relação é de decaimento em , então para ganhos grandes em precisão você precisa aumentar bastante.
Resposta
(a)
(b) Intervalo de confiança de
:
(c) Margem de erro com probabilidade
:
(aprox.
)
(d) A amplitude do intervalo é proporcional a
. Dobrar
reduz a amplitude por um fator
; quadruplicar
reduz a amplitude à metade.