Antes de uma eleição, um determinado partido está interessado em estimar a probabilidade p de eleitores favoráveis ao seu candidato. Uma amostra piloto de tamanho 100 revelou que 60 \% dos eleitores eram favoráveis ao candidato.
a) Utilizando a informação da amostra piloto, determine o tamanho da amostra para que, com 0.8 de probabilidade, o erro cometido na estimação seja de no máximo 0.05 .
b) Se na amostra final, com o tamanho obtido no item anterior, observou-se que 51 \% dos eleitores eram favoráveis ao candidato, construa um intervalo de confiança para p, com confiança de 95 \%.
c) Decidiu-se coletar uma amostra de tamanho 150. Qual o erro máximo (margem de erro) que cometemos com probabilidade de 0.95 e p igual ao dado no item anterior?
d) Qual a influência do tamanho da amostra na amplitude do intervalo de confiança, considerando fixados p=0.51 e o nível de confiança em 0.95 ?

Passo 1

O enunciado pede quatro coisas e fornece as seguintes informações:
  • Uma amostra piloto de tamanho 100 com proporção observada de eleitores favoráveis igual a 60\%. Ou seja, a estimativa piloto é \hat p_0 = 0,60 com n_0 = 100.
  • Item (a): determinar o tamanho da amostra n tal que, com probabilidade 0,8, o erro absoluto na estimação da proporção seja, no máximo, 0,05.
  • Item (b): usando o tamanho n do item (a), e observando na amostra final \hat p = 0,51, construir um intervalo de confiança para p com nível de confiança 95\%.
  • Item (c): supondo que se coletou uma amostra de tamanho 150, calcular o erro máximo (margem de erro) que temos com probabilidade 0,95 quando p = 0,51.
  • Item (d): explicar a influência do tamanho da amostra na amplitude do intervalo de confiança, mantendo p=0,51 e nível de confiança 0,95.

Passo 2

Entendendo a ferramenta que vamos usar (explicação didática):
  • Quando temos uma amostra aleatória de tamanho n e definimos a proporção amostral \hat p, o Teorema do Limite Central dá a aproximação
\hat p \approx N\!\left(p,\; \sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}\right).
Isto significa que a distribuição de \hat p é aproximadamente normal com média p e desvio padrão (erro padrão)
\text{SE}(\hat p)=\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}.
  • Se quisermos que a probabilidade de erro absoluto não ultrapassar uma tolerância d seja igual a um certo valor 1-\alpha (por exemplo 0,8 ou 0,95), então, aproximando pela normal padrão Z, temos
P\big(|\hat p - p|\le d\big) \approx P\Big(|Z|\le \frac{d}{\text{SE}(\hat p)}\Big)=1-\alpha.
  • Daí obtemos a equação para n:
\frac{d}{\sqrt{p(1-p)/n}} = z_{1-\alpha/2},
onde z_{1-\alpha/2} é o quantil da normal padrão (por exemplo z_{0,9} para 1-\alpha=0,8, porque 1-\alpha/2 = 0,9).
  • Quando p é desconhecido, podemos usar a estimativa piloto \hat p_0 como aproximação de p. Isso é comum para escolher n.

Passo 3

Resolvendo o item (a) passo a passo:
  • Queremos P(|\hat p - p|\le 0,05)=0,8. Assim d=0,05 e 1-\alpha=0,8 implica 1-\alpha/2=0,9.
  • O quantil correspondente é z_{0,9}. Usamos o valor aproximado z_{0,9}\approx 1,2816.
  • Substituindo \hat p_0=0,60 no lugar de p e isolando n na fórmula:
\frac{0,05}{\sqrt{\dfrac{0,60\cdot(1-0,60)}{n}}}=1,2816.
  • Isolando n:
n = 0,60(1-0,60)\left(\frac{1,2816}{0,05}\right)^{2}.
  • Calculemos passo a passo (mostrando as contas para você reproduzir na prova sem calculadora avançada):
0,60(1-0,60)=0,60\cdot 0,40=0,24.
\frac{1,2816}{0,05}=25,632.
25,632^{2}\approx 656,99.
n \approx 0,24\cdot 656,99 \approx 157,68.
  • Como n precisa ser inteiro e queremos garantir a condição (ou seja, não subestimar o tamanho), arredondamos para cima:
n = 158.
(Conclusão do item (a): tamanho da amostra n=158.)

Passo 4

Resolvendo o item (b): intervalo de confiança de 95\% com n=158 e \hat p=0,51.
  • Fórmula do intervalo de confiança assintótico para proporção (nível 95\%):
\hat p \pm z_{0,975}\sqrt{\frac{\hat p(1-\hat p)}{n}}.
Aqui z_{0,975}\approx 1,96.
  • Calculemos o erro padrão usando \hat p=0,51 e n=158:
\hat p(1-\hat p)=0,51\cdot 0,49=0,2499.
\frac{0,2499}{158}\approx 0,0015829.
\text{SE}(\hat p)=\sqrt{0,0015829}\approx 0,03980.
  • A margem de erro é
E = 1,96\cdot 0,03980 \approx 0,07803.
  • Portanto o intervalo de confiança é
0,51 \pm 0,07803,
ou seja
\big(0,51-0,07803,\;0,51+0,07803\big)=\big(0,43197,\;0,58803\big).
  • Arredondando de forma usual (duas ou três casas decimais) podemos apresentar
(0,432,\;0,588).

Passo 5

Resolvendo o item (c): erro máximo com probabilidade 0,95 para n=150 e p=0,51.
  • Agora interpretamos "erro máximo com probabilidade 0,95" como encontrar d tal que
P(|\hat p - p|\le d)=0,95.
  • Assim 1-\alpha=0,95 e z_{1-\alpha/2}=z_{0,975}=1,96.
  • A fórmula direta é
d = z_{0,975}\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}.
  • Substituindo p=0,51 e n=150:
p(1-p)=0,51\cdot 0,49=0,2499.
\frac{0,2499}{150}=0,001666.
\sqrt{0,001666}\approx 0,04082.
d = 1,96\cdot 0,04082\approx 0,07997.
  • Assim o erro máximo (margem) é aproximadamente 0,07997, ou seja cerca de 0,08 (8,0%).

Passo 6

Resolvendo o item (d): influência do tamanho da amostra na amplitude do intervalo de confiança (com p=0,51 e nível 0,95 fixos) — explicação didática e exemplos numéricos.
  • A amplitude (ou largura) total do intervalo de confiança é
\text{Amplitude} = 2\cdot z_{0,975}\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}.
  • Note que z_{0,975} e p são mantidos fixos, portanto a dependência do tamanho da amostra é
\text{Amplitude} \propto \frac{1}{\sqrt{n}}.
Isto significa:
  • Se você multiplicar n por 4, a amplitude cai pela metade (porque \sqrt{4}=2).
  • Se você multiplicar n por 2, a amplitude diminui em um fator 1/\sqrt{2}\approx 0,707 (redução de cerca de 29{,}3\%).
  • Há retornos decrescentes: aumentar n muito reduz a amplitude, mas para reduzir a amplitude pela metade é necessário quadruplicar a amostra (custa bastante).
  • Exemplos numéricos com p=0,51 e z_{0,975}=1,96:
    • Para n=150 (do item (c)), amplitude =2\cdot 0,07997\approx 0,1599 (≈ 16,0 pontos percentuais).
    • Para n=158 (item (b)), amplitude =2\cdot 0,07803\approx 0,1561 (≈ 15,6 pontos percentuais).
    • Se quiséssemos metade da amplitude de n=158 (isto é ~ 0,078 amplitude total desejada), precisaríamos de n aproximadamente 4 vezes maior, ou seja cerca de 632 observações.
  • Conclusão prática e motivadora: aumentar n melhora a precisão (reduz a amplitude do intervalo), mas a relação é de decaimento em 1/\sqrt{n}, então para ganhos grandes em precisão você precisa aumentar n bastante.

Resposta

(a) n=158
(b) Intervalo de confiança de 95\%: (0,43197,\;0,58803) \approx (0,432,\;0,588)
(c) Margem de erro com probabilidade 0,95: d\approx 0,07997 (aprox. 0,08)
(d) A amplitude do intervalo é proporcional a 1/\sqrt{n}. Dobrar n reduz a amplitude por um fator 1/\sqrt{2}; quadruplicar n reduz a amplitude à metade.

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