(indicado como 14 no vídeo de resolução de exercícios) Considere um estudo no qual se deseja estimar a proporção de solicitações atendidas e resolvidas de uma central do usuário através de uma amostra aleatória simples.
Qual deveria ser o tamanho da amostra para se obter a estimativa com uma margem de erro de 2.5 \% com 95 \% de confiança?

Passo 1

O enunciado pede: determinar o tamanho da amostra necessário para estimar a proporção de solicitações atendidas e resolvidas com margem de erro de 2,5\% e nível de confiança de 95\%.
Informações dadas:
\bullet margem de erro desejada E = 2,5\% = 0,025.
\bullet nível de confiança 95\% (logo usaremos o quantil crítico da normal associado).
Não há informação adicional sobre uma estimativa prévia da proporção (ou seja, nenhum \hat{p} foi fornecido).

Passo 2

Apresento a fórmula básica para o tamanho de amostra ao estimar uma proporção (caso amostra aleatória simples e população grande/infinita):
n = \frac{z_{\alpha/2}^{2}\,p(1-p)}{E^{2}}.
Explicando cada símbolo de forma bem clara:
\bullet n é o tamanho da amostra que queremos achar.
\bullet z_{\alpha/2} é o valor crítico da distribuição normal padrão que corresponde ao nível de confiança desejado (por exemplo, para 95\% usamos z_{0,025}).
\bullet p é a estimativa da proporção verdadeira (quando desconhecida, usa-se um valor conservador).
\bullet E é a margem de erro absoluta desejada (em proporção, não em porcentagem; por exemplo 2,5\% vira 0,025).
Raciocínio: a expressão vem da relação entre intervalo de confiança da proporção e o erro máximo permitido; multiplicamos a variância p(1-p) pelo quadrado do quantil z e dividimos por E^2.

Passo 3

Como não nos deram uma estimativa prévia \hat{p}, escolhemos o valor conservador p=0,5.
Por que p=0,5? Porque a função p(1-p) é máxima em p=0,5 (isso maximiza a variância da proporção), então usar p=0,5 garante que o tamanho de amostra encontrado seja suficiente independentemente do verdadeiro p. É a escolha prudente quando não temos informação prévia.

Passo 4

Determinar z_{\alpha/2} para 95\% de confiança. O nível 95\% corresponde a \alpha=0,05 e \alpha/2=0,025. O quantil da normal padrão é
z_{0,025} = 1,96.

Passo 5

Agora substituímos os valores na fórmula com p=0,5, E=0,025 e z_{0,025}=1,96.
Primeiro calculemos os termos intermediários:
1,96^{2} = 3,8416.
p(1-p)=0,5\cdot(1-0,5)=0,5\cdot0,5=0,25.
E^{2}=0,025^{2}=0,000625.

Passo 6

Calcule o numerador e depois a divisão:
\text{numerador} = 3,8416 \times 0,25 = 0,9604.
n = \frac{0,9604}{0,000625} = 1536,64.

Passo 7

Como n deve ser um número inteiro de observações e queremos garantir que a margem de erro não ultrapasse o limite desejado, arredondamos para cima (sempre arredondar para cima nesse contexto). Assim obtemos
n = 1537.

Passo 8

Interpretação final e dica prática: com n=1537 observações teremos, com 95\% de confiança, que o erro máximo na estimativa da proporção será no máximo 2,5\%, mesmo no pior caso (quando a proporção verdadeira é perto de 50\%). Se no seu caso você tiver uma estimativa prévia \hat{p}, pode repetir o cálculo usando esse \hat{p} em vez de 0,5 — geralmente isso reduz o n.

Resposta

n = 1537

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