(indicado como 14 no vídeo de resolução de exercícios) Considere um estudo no qual se deseja estimar a proporção de solicitações atendidas e resolvidas de uma central do usuário através de uma amostra aleatória simples.
Qual deveria ser o tamanho da amostra para se obter a estimativa com uma margem de erro de
com
de confiança?
Qual deveria ser o tamanho da amostra para se obter a estimativa com uma margem de erro de
Passo 1
O enunciado pede: determinar o tamanho da amostra necessário para estimar a proporção de solicitações atendidas e resolvidas com margem de erro de
e nível de confiança de
.
Informações dadas:
margem de erro desejada
.
nível de confiança
(logo usaremos o quantil crítico da normal associado).
Não há informação adicional sobre uma estimativa prévia da proporção (ou seja, nenhum foi fornecido).
Informações dadas:
Não há informação adicional sobre uma estimativa prévia da proporção (ou seja, nenhum
Passo 2
Apresento a fórmula básica para o tamanho de amostra ao estimar uma proporção (caso amostra aleatória simples e população grande/infinita):
Explicando cada símbolo de forma bem clara:
é o tamanho da amostra que queremos achar.
é o valor crítico da distribuição normal padrão que corresponde ao nível de confiança desejado (por exemplo, para
usamos
).
é a estimativa da proporção verdadeira (quando desconhecida, usa-se um valor conservador).
é a margem de erro absoluta desejada (em proporção, não em porcentagem; por exemplo
vira
).
Raciocínio: a expressão vem da relação entre intervalo de confiança da proporção e o erro máximo permitido; multiplicamos a variância pelo quadrado do quantil
e dividimos por
.
Raciocínio: a expressão vem da relação entre intervalo de confiança da proporção e o erro máximo permitido; multiplicamos a variância
Passo 3
Como não nos deram uma estimativa prévia
, escolhemos o valor conservador
.
Por que ? Porque a função
é máxima em
(isso maximiza a variância da proporção), então usar
garante que o tamanho de amostra encontrado seja suficiente independentemente do verdadeiro
. É a escolha prudente quando não temos informação prévia.
Por que
Passo 4
Determinar
para
de confiança. O nível
corresponde a
e
. O quantil da normal padrão é
Passo 5
Agora substituímos os valores na fórmula com
,
e
.
Primeiro calculemos os termos intermediários:
Primeiro calculemos os termos intermediários:
Passo 6
Calcule o numerador e depois a divisão:
Passo 7
Como
deve ser um número inteiro de observações e queremos garantir que a margem de erro não ultrapasse o limite desejado, arredondamos para cima (sempre arredondar para cima nesse contexto). Assim obtemos
Passo 8
Interpretação final e dica prática: com
observações teremos, com
de confiança, que o erro máximo na estimativa da proporção será no máximo
, mesmo no pior caso (quando a proporção verdadeira é perto de
). Se no seu caso você tiver uma estimativa prévia
, pode repetir o cálculo usando esse
em vez de
— geralmente isso reduz o
.
Resposta
n = 1537