Em um grupo de 8 pessoas, 4 são homens e 4 são mulheres. Se 2 pessoas são escolhidas aleatoriamente, qual é a probabilidade de que ambas sejam homens, sabendo que a primeira pessoa escolhida foi uma mulher?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma probabilidade condicionada. Informações fornecidas:\n
  • 8 pessoas no grupo. \n
  • Destas, 4 são homens e 4 são mulheres. \n
  • Serão escolhidas 2 pessoas aleatoriamente (sem que se diga explicitamente, assume‑se seleção sem reposição e com ordem considerada, pois o enunciado menciona “a primeira pessoa escolhida”). \n
    O que se pede:\n
  • Calcular a probabilidade de que ambas as pessoas escolhidas sejam homens, sabendo que a primeira pessoa escolhida foi uma mulher.

Passo 2

Vamos definir os eventos de forma bem clara (isso ajuda a pensar sem confusão): \n
  • Seja A o evento “ambas as pessoas escolhidas são homens”. \n
  • Seja B o evento “a primeira pessoa escolhida foi uma mulher”. \n
A probabilidade pedida é a probabilidade condicional P(A\mid B), que, por definição, é\n P(A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)},
desde que P(B)>0. Aqui \;P(A\cap B)\; é a probabilidade de que aconteçam simultaneamente A e B, e \;P(B)\; é a probabilidade de B.

Passo 3

Observação fundamental sobre compatibilidade de eventos: \n
  • O evento A exige que a primeira pessoa seja um homem (pois “ambas são homens” implica que a primeira é homem). \n
  • O evento B exige que a primeira pessoa seja uma mulher. \n
    Logo, A e B não podem ocorrer ao mesmo tempo: são acontecimentos mutuamente exclusivos (incompatíveis).

Passo 4

Dessa incompatibilidade segue que a interseção é vazia, ou seja\n P(A\cap B)=0,
porque não existe situação em que a primeira pessoa seja simultaneamente homem e mulher.

Passo 5

Verificamos que P(B)>0 (apenas para garantir que a divisão abaixo faz sentido): \n
  • A probabilidade de escolher uma mulher na primeira escolha é \dfrac{4}{8}=\dfrac{1}{2}. \n
    Portanto P(B)=\dfrac{1}{2}>0.

Passo 6

Agora aplicamos a fórmula da probabilidade condicional: \n
P(A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}=\frac{0}{\tfrac{1}{2}}=0.

Passo 7

Interpretação intuitiva (apenas para fixar): sabendo que a primeira pessoa já é uma mulher, não faz sentido que “ambas sejam homens” — isso é impossível. Por isso a probabilidade é zero. Se você preferir pensar no cenário “após saber que a primeira é mulher”, o problema muda para “qual a probabilidade de que as duas escolhidas originalmente fossem homens?”, e a resposta continua sendo que isso não pode ocorrer dada a informação.

Resposta

\;0

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