Em um grupo de 8 pessoas, 4 são homens e 4 são mulheres. Se 2 pessoas são escolhidas aleatoriamente, qual é a probabilidade de que ambas sejam homens, sabendo que a primeira pessoa escolhida foi uma mulher?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma probabilidade condicionada. Informações fornecidas:\n
- Há
pessoas no grupo. \n - Destas,
são homens e são mulheres. \n - Serão escolhidas
pessoas aleatoriamente (sem que se diga explicitamente, assume‑se seleção sem reposição e com ordem considerada, pois o enunciado menciona “a primeira pessoa escolhida”). \n
O que se pede:\n - Calcular a probabilidade de que ambas as pessoas escolhidas sejam homens, sabendo que a primeira pessoa escolhida foi uma mulher.
Passo 2
Vamos definir os eventos de forma bem clara (isso ajuda a pensar sem confusão): \n
- Seja
o evento “ambas as pessoas escolhidas são homens”. \n - Seja
o evento “a primeira pessoa escolhida foi uma mulher”. \n
A probabilidade pedida é a probabilidade condicional
, que, por definição, é\n
desde que
. Aqui
é a probabilidade de que aconteçam simultaneamente
e
, e
é a probabilidade de
.
Passo 3
Observação fundamental sobre compatibilidade de eventos: \n
- O evento
exige que a primeira pessoa seja um homem (pois “ambas são homens” implica que a primeira é homem). \n - O evento
exige que a primeira pessoa seja uma mulher. \n
Logo,e não podem ocorrer ao mesmo tempo: são acontecimentos mutuamente exclusivos (incompatíveis).
Passo 4
Dessa incompatibilidade segue que a interseção é vazia, ou seja\n
porque não existe situação em que a primeira pessoa seja simultaneamente homem e mulher.
Passo 5
Verificamos que
(apenas para garantir que a divisão abaixo faz sentido): \n
- A probabilidade de escolher uma mulher na primeira escolha é
. \n
Portanto.
Passo 6
Agora aplicamos a fórmula da probabilidade condicional: \n
Passo 7
Interpretação intuitiva (apenas para fixar): sabendo que a primeira pessoa já é uma mulher, não faz sentido que “ambas sejam homens” — isso é impossível. Por isso a probabilidade é zero. Se você preferir pensar no cenário “após saber que a primeira é mulher”, o problema muda para “qual a probabilidade de que as duas escolhidas originalmente fossem homens?”, e a resposta continua sendo que isso não pode ocorrer dada a informação.