- Um teste de QI de uma pessoa aleatoriamente escolhida indica uma nota que é aproximadamente uma variável aleatória normal com média 100 e desvio padrão 15. Qual é a probabilidade de que tal nota
(a) Esteja acima de 125
(b) Entre 90 e 110?
R. (a) 0,0475; (b) 0,4972.
- Suponha que o tempo de viagem de sua casa ao seu escritório seja normalmente distribuído com média de 40 minutos e desvio padrão de 7 minutos. Se você quer estar
certo de que você não chegará atrasado para um compromisso no escritório às 13:00, qual é o último horário no qual você deverá sair de casa?
R.
.
(a) Esteja acima de 125
(b) Entre 90 e 110?
R. (a) 0,0475; (b) 0,4972.
R.
Passo 1
Enunciados e o que é pedido:
-
Questão 10: “Um teste de QI … distribuição normal aproximadamente com média
e desvio padrão . Qual é a probabilidade de que tal nota
(a) esteja acima de;
(b) esteja entree ?”
Dados relevantes: média, desvio padrão . Perguntas: calcular duas probabilidades. -
Questão 11: “Tempo de viagem normalmente distribuído com média
minutos e desvio padrão minutos. Se você quer estar certo de que você não chegará atrasado para um compromisso às , qual é o último horário que você deverá sair de casa?”
Dados relevantes:minutos, minutos, nível de confiança Pergunta: achar o horário de saída (hora:min:seg).
Passo 2
O conceito básico e a fórmula que vamos usar (aula rápida e prática).
- Uma variável aleatória
que é “normal” com média e desvio padrão é escrita . - Para transformar qualquer
numa variável padrão (com média e desvio padrão ), usamos o escore z:
Aqui
é a variável normal padrão
. A vantagem: tabelas e calculadoras dão probabilidades para
, então convertemos problemas sobre
em problemas sobre
.
- Interpretação: um
positivo significa acima da média; um negativo significa abaixo da média. Para calcular, por exemplo, fazemos .
Passo 3
Resolução de 10(a): passo a passo.
- Queremos
com e . - Calcula-se o escore z correspondente ao ponto
:
(usei aproximação a duas casas para consultar tabela padrão).
- Agora
. As tabelas de (ou calculadora) fornecem . Portanto
- Interpretação simples: cerca de
das pessoas terão QI maior que .
Passo 4
Breve explicação sobre leitura de tabela e arredondamento (útil na prova).
- As tabelas normalmente dão
para . Para entre valores da tabela, arredonda-se para duas casas decimais (ex.: ). - Se precisar de
, faça . - Se precisar de
, transforme ambos os limites em e use diferenças de (ver próximo passo).
Passo 5
Resolução de 10(b): passo a passo.
- Queremos
. - Calculamos os dois z:
- Em termos de
: . - Usando simetria da normal padrão:
. Então
- A tabela dá
. Logo
- Interpretação: cerca de
das pessoas têm QI entre e — praticamente metade.
Passo 6
Resumo prático para a prova sobre questões tipo 10:
- Converta o(s) limite(s) para
com . - Use a tabela de
(CDF) com arredondado a duas casas. - Para
faça . Para faça (usar simetria se for conveniente).
Passo 7
Iniciando a solução da Questão 11 (hora de saída): identifique o que pedir.
- Variável
= tempo de viagem, . - Queremos o maior tempo disponível
tal que (ou seja, com probabilidade o tempo de viagem será menor ou igual a ). - Depois converter esse
em horário de saída: sair em .
Passo 8
Encontrar
usando quantil da normal padrão.
- Se
, então o escore associado satisfaz . - O valor padrão para esse quantil (tabelas ou calculadora inversa) é aproximadamente
(valor da normal padrão tal que ). - Convertendo de volta para
:
Passo 9
Cálculo numérico detalhado e conversão para horário.
- Multiplicando:
Portanto
- Isso significa que, para ter
de chance de não chegar atrasado, você deve reservar minutos para a viagem. - Converter para horário: compromisso às
. Subtraindo minutos:
- Agora transformamos a parte decimal
minuto em segundos:
- Arredondando para o segundo mais próximo, o último horário para sair é
.
Passo 10
Interpretação final e dica para a prova
- Se você sair em
(aprox.), tem de chance de chegar até ou antes. Isso não garante nunca atrasar (há de chance de passar de ), mas é o procedimento correto com a normal e o quantil. - Dica prática: memorize alguns quantis úteis da normal padrão:
(um lado), (para intervalo bilateral ). Isso economiza tempo na prova.
Resposta
(a)
(b)
(b)