1. Um teste de QI de uma pessoa aleatoriamente escolhida indica uma nota que é aproximadamente uma variável aleatória normal com média 100 e desvio padrão 15. Qual é a probabilidade de que tal nota
    (a) Esteja acima de 125
    (b) Entre 90 e 110?
    R. (a) 0,0475; (b) 0,4972.
  2. Suponha que o tempo de viagem de sua casa ao seu escritório seja normalmente distribuído com média de 40 minutos e desvio padrão de 7 minutos. Se você quer estar 95 \% certo de que você não chegará atrasado para um compromisso no escritório às 13:00, qual é o último horário no qual você deverá sair de casa?
    R. 12 h 08 \min 27 s.

Passo 1

Enunciados e o que é pedido:
  • Questão 10: “Um teste de QI … distribuição normal aproximadamente com média 100 e desvio padrão 15. Qual é a probabilidade de que tal nota
    (a) esteja acima de 125;
    (b) esteja entre 90 e 110?”
    Dados relevantes: média \mu=100, desvio padrão \sigma=15. Perguntas: calcular duas probabilidades.
  • Questão 11: “Tempo de viagem normalmente distribuído com média 40 minutos e desvio padrão 7 minutos. Se você quer estar 95\% certo de que você não chegará atrasado para um compromisso às 13{:}00, qual é o último horário que você deverá sair de casa?”
    Dados relevantes: \mu=40 minutos, \sigma=7 minutos, nível de confiança 95\%. Pergunta: achar o horário de saída (hora:min:seg).

Passo 2

O conceito básico e a fórmula que vamos usar (aula rápida e prática).
  • Uma variável aleatória X que é “normal” com média \mu e desvio padrão \sigma é escrita \,X\sim N(\mu,\sigma^2)\,.
  • Para transformar qualquer X numa variável padrão (com média 0 e desvio padrão 1), usamos o escore z:
Z = \frac{X-\mu}{\sigma}.
Aqui Z é a variável normal padrão N(0,1). A vantagem: tabelas e calculadoras dão probabilidades para Z, então convertemos problemas sobre X em problemas sobre Z.
  • Interpretação: um z positivo significa X acima da média; um z negativo significa X abaixo da média. Para calcular, por exemplo, P(X>a) fazemos P\!\big(Z>\tfrac{a-\mu}{\sigma}\big).

Passo 3

Resolução de 10(a): passo a passo.
  • Queremos P(X>125) com \mu=100 e \sigma=15.
  • Calcula-se o escore z correspondente ao ponto 125:
z=\frac{125-100}{15}=\frac{25}{15}=1,\!666\ldots\approx 1,\!67.
(usei aproximação a duas casas para consultar tabela padrão).
  • Agora P(X>125)=P\big(Z>1,\!67\big). As tabelas de Z (ou calculadora) fornecem P(Z\le 1,\!67)=0,9525. Portanto
P\big(Z>1,\!67\big)=1-0,9525=0,0475.
  • Interpretação simples: cerca de 4,75\% das pessoas terão QI maior que 125.

Passo 4

Breve explicação sobre leitura de tabela e arredondamento (útil na prova).
  • As tabelas normalmente dão \Phi(z)=P(Z\le z) para z\ge 0. Para z entre valores da tabela, arredonda-se z para duas casas decimais (ex.: 1,666\to1,67).
  • Se precisar de P(Z>z), faça 1-\Phi(z).
  • Se precisar de P(a\le X\le b), transforme ambos os limites em z e use diferenças de \Phi (ver próximo passo).

Passo 5

Resolução de 10(b): passo a passo.
  • Queremos P(90\le X\le 110).
  • Calculamos os dois z:
z_1=\frac{90-100}{15}=\frac{-10}{15}=-0,\!666\ldots\approx -0,\!67,
z_2=\frac{110-100}{15}=\frac{10}{15}=0,\!666\ldots\approx 0,\!67.
  • Em termos de Z: P(90\le X\le110)=P(-0,\!67\le Z\le 0,\!67).
  • Usando simetria da normal padrão: \Phi(-a)=1-\Phi(a). Então
P(-0,\!67\le Z\le 0,\!67)=\Phi(0,\!67)-\Phi(-0,\!67)=\Phi(0,\!67)-(1-\Phi(0,\!67))=2\Phi(0,\!67)-1.
  • A tabela dá \Phi(0,\!67)=0,7486. Logo
P=2\cdot 0,7486 - 1 = 1,4972 - 1 = 0,4972.
  • Interpretação: cerca de 49,72\% das pessoas têm QI entre 90 e 110 — praticamente metade.

Passo 6

Resumo prático para a prova sobre questões tipo 10:
  • Converta o(s) limite(s) para z com z=(x-\mu)/\sigma.
  • Use a tabela de \Phi(z) (CDF) com z arredondado a duas casas.
  • Para P(X>a) faça 1-\Phi(z). Para P(a\le X\le b) faça \Phi(z_b)-\Phi(z_a) (usar simetria se for conveniente).

Passo 7

Iniciando a solução da Questão 11 (hora de saída): identifique o que pedir.
  • Variável T = tempo de viagem, T\sim N(\mu=40,\sigma^2=7^2).
  • Queremos o maior tempo disponível t^* tal que P(T\le t^*)=0,95 (ou seja, com probabilidade 95\% o tempo de viagem será menor ou igual a t^*).
  • Depois converter esse t^* em horário de saída: sair em 13{:}00 - t^*.

Passo 8

Encontrar t^* usando quantil da normal padrão.
  • Se P(T\le t^*)=0,95, então o escore z^* associado satisfaz \Phi(z^*)=0,95.
  • O valor padrão para esse quantil (tabelas ou calculadora inversa) é aproximadamente z^*=1,\!645 (valor da normal padrão tal que P(Z\le z^*)=0,95).
  • Convertendo de volta para T:
t^*=\mu + z^* \sigma = 40 + 1,\!645\cdot 7.

Passo 9

Cálculo numérico detalhado e conversão para horário.
  • Multiplicando: 1,\!645\cdot 7 = 11,\!515. Portanto
t^* = 40 + 11,\!515 = 51,\!515\\ \text{minutos (aprox.)}.
  • Isso significa que, para ter 95\% de chance de não chegar atrasado, você deve reservar 51,\!515 minutos para a viagem.
  • Converter para horário: compromisso às 13{:}00. Subtraindo 51,\!515 minutos:
13{:}00 - 51,\!515\\ \text{min} = 12{:}08,\!485\\ (\text{hora:minutos decimais}).
  • Agora transformamos a parte decimal 0,\!485 minuto em segundos:
0,\!485\\ \text{min} \times 60\\ \text{s/min} = 29,\!1\\ \text{segundos (aprox.)}.
  • Arredondando para o segundo mais próximo, o último horário para sair é 12{:}08{:}29.

Passo 10

Interpretação final e dica para a prova
  • Se você sair em 12{:}08{:}29 (aprox.), tem 95\% de chance de chegar até 13{:}00 ou antes. Isso não garante nunca atrasar (há 5\% de chance de passar de 13{:}00), mas é o procedimento correto com a normal e o quantil.
  • Dica prática: memorize alguns quantis úteis da normal padrão: z_{0,95}\approx1,\!645 (um lado), z_{0,975}\approx1,\!96 (para intervalo bilateral 95\%). Isso economiza tempo na prova.

Resposta

(a) 0,0475
(b) 0,4972
12\:\text{h}\;08\:\text{min}\;29\:\text{s}

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