(a) No Problema 8 mostrar que tôda classe lateral à esquerda de
em
é uma classe lateral à direita de
em
.
(b) Dar um exemplo de um grupo
e um subgrupo
tais que nem tôda classe lateral à esquerda de
em
seja uma classe lateral à direita de
em $G.
(b) Dar um exemplo de um grupo
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado pede e quais informações vamos assumir. O enunciado tem duas partes:
(a) Mostrar que toda classe lateral à esquerda de em
é uma classe lateral à direita de
em
.
(b) Dar um exemplo de e
tais que nem toda classe lateral à esquerda de
em
seja uma classe lateral à direita de
em
.
(a) Mostrar que toda classe lateral à esquerda de
(b) Dar um exemplo de
Para (a) vou assumir o contexto que normalmente aparece em “Problema 8” desses livros: estamos no caso em que o índice de
em
é
; isto é,
. Em palavras: existem exatamente duas classes laterais (à esquerda) de
em
: a própria
e uma outra que é
para algum
. (Se não tivéssemos essa hipótese, a afirmação de (a) é falsa em geral — por isso eu tomo
como a hipótese implícita do “Problema 8”.)
Informações relevantes que vou usar (todas explícitas ou consequências diretas da hipótese
):
-
é um grupo e é um subgrupo. -
, logo as classes laterais à esquerda são exatamente e para algum . - As classes laterais (esquerda ou direita) particionam
.
Passo 2
Definições básicas (para ficar tudo bem claro).
- Definição: para
, a classe lateral à esquerda de com representante é . - Definição: para
, a classe lateral à direita de com representante é .
Vou explicar o que essas definições significam em palavras simples:é o conjunto de todos os elementos de que se obtêm multiplicando à esquerda por elementos de ; é o conjunto de todos os elementos que se obtêm multiplicando à direita por elementos de .
Passo 3
Observação sobre as classes quando
.
Se , então as classes laterais à esquerda são exatamente duas:
(a classe trivial com representante
, a identidade) e uma única classe não-trivial
para algum
. Como as classes partitionam
, isso significa que
Se
ou seja,
(o conjunto complemento de
em
).
Passo 4
O mesmo raciocínio vale para classes laterais à direita.
As classes laterais à direita também particionam . Pelo mesmo argumento de índice, existem exatamente duas classes laterais à direita:
e uma outra
(para algum elemento, possivelmente diferente do
usado antes). Portanto
As classes laterais à direita também particionam
ou seja,
também.
Aqui é fundamental perceber que o conjunto complemento
é único; tanto a única classe esquerda não-trivial quanto a única classe direita não-trivial têm de ser iguais ao complemento
.
Passo 5
Concluir que a única classe esquerda não-trivial coincide com a única classe direita não-trivial.
Juntando os dois fatos do passo anterior temos
Juntando os dois fatos do passo anterior temos
Portanto a classe lateral à esquerda
coincide como conjunto com a classe lateral à direita
. Como as únicas classes são
e essa, concluímos que cada classe lateral à esquerda é também uma classe lateral à direita (a própria
é obviamente igual à própria
, e a outra coincide como vimos).
Passo 6
Escrevendo o argumento de maneira direta (forma curta de prova, útil na prova):
Suponha . Então existem exatamente duas classes laterais à esquerda:
e
(com
). Essas duas classes partem
, logo
. Análogo para classes à direita dá
. Logo
. Portanto qualquer classe esquerda é também uma classe direita. QED.
Suponha
Passo 7
Pequena explicação didática do porquê isso funciona (intuição).
Índice é um caso especial porque há somente uma “coleção” de elementos fora de
; toda multiplicação por um elemento fora de
leva a essa mesma única classe. Por isso não há possibilidade de ter uma classe esquerda que corresponda a uma classe direita diferente: só existe uma classe não-trivial e ela tem de ser a mesma vista por qualquer lado.
Índice
Passo 8
Agora a parte (b): exemplificar onde a afirmação é falsa sem a hipótese
.
Uma escolha simples e clássica é (o grupo das permutações de
) e
Uma escolha simples e clássica é
Aqui
e
, então
. Vou mostrar explicitamente que existe uma classe lateral à esquerda que não é uma classe lateral à direita.
Passo 9
Cálculo explícito dos cosets em
.
Escolho o elemento . Calculo a classe lateral à esquerda e a classe lateral à direita:
Escolho o elemento
- Classe lateral à esquerda:
Calculemos
. Composição de permutações:
. Assim
- Classe lateral à direita:
Calculemos
. Isso vale
. Assim
Compare os dois conjuntos:
Como
, os conjuntos são diferentes. Portanto a classe lateral à esquerda
não é uma classe lateral à direita de
.
Passo 10
Comentário final, incentivo e dica de prova.
- Resumindo: sem hipóteses extras a afirmação de (a) é falsa (como mostra o exemplo de
). Com a hipótese natural de índice (que costuma ser o contexto do “Problema 8”), a afirmação é verdadeira porque há exatamente duas classes e a não-trivial coincide como complemento, logo a classe esquerda não-trivial coincide com a classe direita não-trivial. - Dica prática para a prova: sempre verifique o índice. Se
, então esquerda = direita; se procure contraexemplos em grupos pequenos, tipo .
Resposta
(a) Se
, então sim: toda classe lateral à esquerda de
em
é também uma classe lateral à direita de
em
.
(b) Exemplo: e
. Então
e
, logo
.
(b) Exemplo: