(a) No Problema 8 mostrar que tôda classe lateral à esquerda de H em G é uma classe lateral à direita de H em G.
(b) Dar um exemplo de um grupo G e um subgrupo H tais que nem tôda classe lateral à esquerda de H em G seja uma classe lateral à direita de H em $G.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado pede e quais informações vamos assumir. O enunciado tem duas partes:
(a) Mostrar que toda classe lateral à esquerda de H em G é uma classe lateral à direita de H em G.
(b) Dar um exemplo de G e H tais que nem toda classe lateral à esquerda de H em G seja uma classe lateral à direita de H em G.
Para (a) vou assumir o contexto que normalmente aparece em “Problema 8” desses livros: estamos no caso em que o índice de H em G é 2; isto é, [G:H]=2. Em palavras: existem exatamente duas classes laterais (à esquerda) de H em G: a própria H e uma outra que é gH para algum g\notin H. (Se não tivéssemos essa hipótese, a afirmação de (a) é falsa em geral — por isso eu tomo [G:H]=2 como a hipótese implícita do “Problema 8”.)
Informações relevantes que vou usar (todas explícitas ou consequências diretas da hipótese [G:H]=2):
  • G é um grupo e H\le G é um subgrupo.
  • [G:H]=2, logo as classes laterais à esquerda são exatamente \;H\; e \;gH para algum g\notin H.
  • As classes laterais (esquerda ou direita) particionam G.

Passo 2

Definições básicas (para ficar tudo bem claro).
  • Definição: para g\in G, a classe lateral à esquerda de H com representante g é \;gH=\{gh : h\in H\}.
  • Definição: para g\in G, a classe lateral à direita de H com representante g é \;Hg=\{hg : h\in H\}.
    Vou explicar o que essas definições significam em palavras simples: gH é o conjunto de todos os elementos de G que se obtêm multiplicando g à esquerda por elementos de H; Hg é o conjunto de todos os elementos que se obtêm multiplicando g à direita por elementos de H.

Passo 3

Observação sobre as classes quando [G:H]=2.
Se [G:H]=2, então as classes laterais à esquerda são exatamente duas: \;H\; (a classe trivial com representante e, a identidade) e uma única classe não-trivial \;gH para algum g\notin H. Como as classes partitionam G, isso significa que
G = H \;\dot\cup\; gH,
ou seja, gH = G\setminus H (o conjunto complemento de H em G).

Passo 4

O mesmo raciocínio vale para classes laterais à direita.
As classes laterais à direita também particionam G. Pelo mesmo argumento de índice, existem exatamente duas classes laterais à direita: \;H\; e uma outra \;Hg (para algum elemento, possivelmente diferente do g usado antes). Portanto
G = H \;\dot\cup\; Hg,
ou seja, Hg = G\setminus H também.
Aqui é fundamental perceber que o conjunto complemento G\setminus H é único; tanto a única classe esquerda não-trivial quanto a única classe direita não-trivial têm de ser iguais ao complemento G\setminus H.

Passo 5

Concluir que a única classe esquerda não-trivial coincide com a única classe direita não-trivial.
Juntando os dois fatos do passo anterior temos
gH = G\setminus H = Hg.
Portanto a classe lateral à esquerda gH coincide como conjunto com a classe lateral à direita Hg. Como as únicas classes são H e essa, concluímos que cada classe lateral à esquerda é também uma classe lateral à direita (a própria H é obviamente igual à própria H, e a outra coincide como vimos).

Passo 6

Escrevendo o argumento de maneira direta (forma curta de prova, útil na prova):
Suponha [G:H]=2. Então existem exatamente duas classes laterais à esquerda: H e gH (com g\notin H). Essas duas classes partem G, logo gH=G\setminus H. Análogo para classes à direita dá Hg=G\setminus H. Logo gH=Hg. Portanto qualquer classe esquerda é também uma classe direita. QED.

Passo 7

Pequena explicação didática do porquê isso funciona (intuição).
Índice 2 é um caso especial porque há somente uma “coleção” de elementos fora de H; toda multiplicação por um elemento fora de H leva a essa mesma única classe. Por isso não há possibilidade de ter uma classe esquerda que corresponda a uma classe direita diferente: só existe uma classe não-trivial e ela tem de ser a mesma vista por qualquer lado.

Passo 8

Agora a parte (b): exemplificar onde a afirmação é falsa sem a hipótese [G:H]=2.
Uma escolha simples e clássica é G=S_3 (o grupo das permutações de \{1,2,3\}) e
H=\{e,\,(12)\}.
Aqui |G|=6 e |H|=2, então [G:H]=3. Vou mostrar explicitamente que existe uma classe lateral à esquerda que não é uma classe lateral à direita.

Passo 9

Cálculo explícito dos cosets em S_3.
Escolho o elemento (13)\in S_3. Calculo a classe lateral à esquerda e a classe lateral à direita:
  • Classe lateral à esquerda:
(13)H = \{(13)\cdot e,\; (13)\cdot(12)\} = \{(13),\;(13)(12)\}.
Calculemos (13)(12). Composição de permutações: (13)(12) = (132). Assim
(13)H = \{(13),\;(132)\}.
  • Classe lateral à direita:
H(13) = \{e\cdot(13),\; (12)\cdot(13)\} = \{(13),\; (12)(13)\}.
Calculemos (12)(13). Isso vale (123). Assim
H(13) = \{(13),\;(123)\}.
Compare os dois conjuntos:
(13)H = \{(13),\;(132)\},\qquad H(13)=\{(13),\;(123)\}.
Como (132)\neq(123), os conjuntos são diferentes. Portanto a classe lateral à esquerda (13)H não é uma classe lateral à direita de H.

Passo 10

Comentário final, incentivo e dica de prova.
  • Resumindo: sem hipóteses extras a afirmação de (a) é falsa (como mostra o exemplo de S_3). Com a hipótese natural de índice 2 (que costuma ser o contexto do “Problema 8”), a afirmação é verdadeira porque há exatamente duas classes e a não-trivial coincide como complemento, logo a classe esquerda não-trivial coincide com a classe direita não-trivial.
  • Dica prática para a prova: sempre verifique o índice. Se [G:H]=2, então esquerda = direita; se [G:H]\ge 3 procure contraexemplos em grupos pequenos, tipo S_3.

Resposta

(a) Se [G:H]=2, então sim: toda classe lateral à esquerda de H em G é também uma classe lateral à direita de H em G.
(b) Exemplo: G=S_3 e H=\{e,(12)\}. Então
(13)H=\{(13),(132)\} e H(13)=\{(13),(123)\}, logo (13)H\neq H(13).

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