Um grupo de psicólogos avaliou o nível de depressão em dois grupos: jovens (15 a 30 anos) e adultos ( 46 a 60 anos), utilizando a Escala de Depressão de Beck.
Os dados (scores) são apresentados a seguir:
  • Jovens: 42, 14, 56, 23, 12, 11, 49, 10
  • Adultos: 17, 3, 7, 21, 12, 10, 2, 24
Considere que maiores valores indicam maior nível de depressão.
Qual dos dois grupos apresenta maior homogeneidade?

Passo 1

O enunciado dá dois conjuntos de scores da Escala de Beck e pergunta qual dos dois grupos é mais homogêneo (ou seja, apresenta menor variabilidade nos scores). Peguei estes dados do enunciado:
  • Jovens: 42,\,14,\,56,\,23,\,12,\,11,\,49,\,10
  • Adultos: 17,\,3,\,7,\,21,\,12,\,10,\,2,\,24
O que é pedido: identificar qual grupo tem maior homogeneidade (menor dispersão dos valores).

Passo 2

O que significa “maior homogeneidade” em termos estatísticos? Geralmente significa menor dispersão dos dados em torno da média. As medidas de dispersão mais usadas são:
  • Variância amostral \displaystyle s^{2}=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(x_{i}-\bar{x})^{2}, onde n é o número de observações, x_{i} são os valores e \bar{x} é a média amostral.
  • Desvio-padrão amostral \displaystyle s=\sqrt{s^{2}}, que está na mesma unidade dos dados e é mais fácil de interpretar.
    Vou usar a variância amostral e o desvio-padrão amostral porque os dados são amostras de dois grupos (dividimos por n-1). Explico cada símbolo quando usar a fórmula.

Passo 3

Calcular a média do grupo Jovens. Aqui n=8 e os valores são os listados em Passo 1.
Somando os valores (peguei os valores da lista de Jovens):
\sum x_i = 42+14+56+23+12+11+49+10 = 217.
A média amostral é
\bar{x}_{\text{Jovens}}=\frac{217}{8}=27,125.

Passo 4

Calcular a variância e o desvio-padrão dos Jovens. Vou aplicar a fórmula
s^{2}=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(x_{i}-\bar{x})^{2},
onde n=8 e \bar{x}=\bar{x}_{\text{Jovens}}=27,125.
Calculo as diferenças e seus quadrados (peguei \bar{x}_{\text{Jovens}}=27,125 calculada acima):
\begin{aligned} 42-27,125 &= 14,875,\quad (14,875)^{2}=221,265625,\\\\ 14-27,125 &= -13,125,\quad ( -13,125)^{2}=172,265625,\\\\ 56-27,125 &= 28,875,\quad (28,875)^{2}=833,765625,\\\\ 23-27,125 &= -4,125,\quad (-4,125)^{2}=17,015625,\\\\ 12-27,125 &= -15,125,\quad (-15,125)^{2}=228,765625,\\\\ 11-27,125 &= -16,125,\quad (-16,125)^{2}=260,015625,\\\\ 49-27,125 &= 21,875,\quad (21,875)^{2}=478,515625,\\\\ 10-27,125 &= -17,125,\quad (-17,125)^{2}=293,265625. \end{aligned}
Somando esses quadrados (usei os números acima):
\sum (x_i-\bar{x})^{2}=2504,875.
Então a variância amostral é
s_{\text{Jovens}}^{2}=\frac{2504,875}{8-1}=\frac{2504,875}{7}=357,8392857\approx357,839.
E o desvio-padrão amostral é
s_{\text{Jovens}}=\sqrt{357,8392857}\approx18,915.

Passo 5

Calcular a média do grupo Adultos. Peguei os valores da lista de Adultos:
\sum x_i = 17+3+7+21+12+10+2+24 = 96.
A média amostral é
\bar{x}_{\text{Adultos}}=\frac{96}{8}=12,0.

Passo 6

Calcular variância e desvio-padrão dos Adultos com a mesma fórmula. Com n=8 e \bar{x}=12,0:
Diferenças e quadrados (peguei \bar{x}_{\text{Adultos}}=12,0):
\begin{aligned} 17-12 &= 5,\quad 5^{2}=25,\\\\ 3-12 &= -9,\quad (-9)^{2}=81,\\\\ 7-12 &= -5,\quad (-5)^{2}=25,\\\\ 21-12 &= 9,\quad 9^{2}=81,\\\\ 12-12 &= 0,\quad 0^{2}=0,\\\\ 10-12 &= -2,\quad (-2)^{2}=4,\\\\ 2-12 &= -10,\quad (-10)^{2}=100,\\\\ 24-12 &= 12,\quad 12^{2}=144. \end{aligned}
Somando esses quadrados:
\sum (x_i-\bar{x})^{2}=460.
Variância amostral:
s_{\text{Adultos}}^{2}=\frac{460}{8-1}=\frac{460}{7}=65,7142857\approx65,714.
Desvio-padrão amostral:
s_{\text{Adultos}}=\sqrt{65,7142857}\approx8,105.

Passo 7

Comparação direta: os Adultos têm variância \approx65,714 e desvio-padrão \approx8,105; os Jovens têm variância \approx357,839 e desvio-padrão \approx18,915. Como medidas de dispersão menores indicam maior homogeneidade, os Adultos são mais homogêneos.
Comentário adicional (opcional, para intuição): o alcance (range) também mostra isso: Jovens têm \max=56 e \min=10 então range =46; Adultos têm \max=24 e \min=2 então range =22. Range menor para Adultos também indica menor dispersão.
Se quiser comparar levando em conta a média (variabilidade relativa), calcula-se o coeficiente de variação \mathrm{CV}=s/\bar{x}:
\mathrm{CV}_{\text{Jovens}}\approx\frac{18,915}{27,125}\approx0,697\\ (69,7\%), \qquad \mathrm{CV}_{\text{Adultos}}\approx\frac{8,105}{12,0}\approx0,675\\ (67,5\%).
Mesmo com a normalização pela média, Adultos mantêm variabilidade relativa ligeiramente menor.

Resposta

Adultos

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