Os grupos devem resolver os seguintes problemas usando o TVI:
A resistividade elétrica de um material varia continuamente com a temperatura segundo:
\rho(T)=\rho_{0}\left[1+\alpha\left(T-T_{0}\right)\right]
onde \rho_{0}=1,7 \times 10^{-8} \Omega \cdot \mathrm{~m}, \alpha=0,0039 /{ }^{\circ} \mathrm{C}, \mathrm{T}_{0}=20^{\circ} \mathrm{C}
a) Mostrar que existe uma temperatura entre 20^{\circ} \mathrm{C} e 100^{\circ} \mathrm{C} em que \rho=2,0 \times 10^{-8} \Omega \cdot \mathrm{~m}
b) Estimar essa temperatura

Passo 1

O enunciado dá a resistividade como função contínua da temperatura:
\rho(T)=\rho_{0}\left[1+\alpha\left(T-T_{0}\right)\right]
com os dados (peguei estes números do enunciado):
  • \rho_{0}=1,7\times10^{-8}\\ \Omega\cdot\mathrm{m}
  • \alpha=0,0039/^{\circ}\mathrm{C}
  • T_{0}=20^{\circ}\mathrm{C}
As perguntas são:
(a) Mostrar que existe uma temperatura entre 20^{\circ}\mathrm{C} e 100^{\circ}\mathrm{C} em que \rho=2,0\times10^{-8}\\ \Omega\cdot\mathrm{m}.
(b) Estimar essa temperatura numericamente.

Passo 2

Vamos preparar o uso do Teorema do Valor Intermediário (TVI). Defino a função auxiliar
g(T)=\rho(T)-\rho_{*},
onde \rho_{*}=2,0\times10^{-8}\\ \Omega\cdot\mathrm{m} é o valor que queremos alcançar. A ideia do TVI: se g for contínua num intervalo e g toma sinais opostos nas extremidades, então existe c interior tal que g\text{(c)}=0. Explico por que g é contínua: \rho(T) é uma combinação linear de T (produto e soma de constantes e de T), logo é contínua; subtrair a constante \rho_{*} mantém a continuidade. Então podemos aplicar o TVI no intervalo [20,100] se encontrarmos g(20) e g(100) com sinais opostos.

Passo 3

Calculo g(20). Substituindo T=20^\circ\mathrm{C} na expressão de \rho(T):
\rho(20)=\rho_{0}\bigl[1+\alpha(20-T_{0})\bigr]=\rho_{0}\bigl[1+\alpha(20-20)\bigr]=\rho_{0}.
Portanto
g(20)=\rho(20)-\rho_{*}=\rho_{0}-\rho_{*}=1,7\times10^{-8}-2,0\times10^{-8}=-0,3\times10^{-8}=-3,0\times10^{-9}.
Conclusão parcial: g(20) é negativo.

Passo 4

Calculo g(100). Primeiro \rho(100):
\rho(100)=\rho_{0}\bigl[1+\alpha(100-20)\bigr]=\rho_{0}\bigl[1+\alpha\cdot80\bigr].
Calculo \alpha\cdot80:
\alpha\cdot80=0,0039\times80=0,312,
logo
\rho(100)=1,7\times10^{-8}\times1,312=2,2304\times10^{-8}.
Agora
g(100)=\rho(100)-\rho_{*}=2,2304\times10^{-8}-2,0\times10^{-8}=0,2304\times10^{-8}=2,304\times10^{-9},
que é positivo.

Passo 5

Aplicando o TVI: como g é contínua em [20,100], g(20)<0 e g(100)>0, existe pelo Teorema do Valor Intermediário algum T\in(20,100) tal que
g(T)=0,
ou seja, existe T\in(20,100) com \rho(T)=2,0\times10^{-8}\\ \Omega\cdot\mathrm{m}. Isso responde (a).

Passo 6

Agora estimamos essa temperatura resolvendo a equação linear. Partimos de
\rho(T)=\rho_{*}.
Substituindo a expressão de \rho(T):
\rho_{0}\bigl[1+\alpha(T-T_{0})\bigr]=\rho_{*}.
Isolando T:
1+\alpha(T-T_{0})=\frac{\rho_{*}}{\rho_{0}},
\alpha(T-T_{0})=\frac{\rho_{*}}{\rho_{0}}-1,
T=T_{0}+\frac{1}{\alpha}\left(\frac{\rho_{*}}{\rho_{0}}-1\right).
Aqui T_{0} é a temperatura de referência e \alpha é a constante de temperatura; como \alpha\neq0 a divisão é válida.

Passo 7

Agora substituo os números:
\frac{\rho_{*}}{\rho_{0}}=\frac{2,0\times10^{-8}}{1,7\times10^{-8}}=\frac{2,0}{1,7}\approx1,176470588.
Subtraindo 1:
\frac{\rho_{*}}{\rho_{0}}-1\approx0,176470588.
Divido por \alpha:
\frac{0,176470588}{0,0039}\approx45,2491.
Finalmente
T=20+45,2491\approx65,2491^{\circ}\mathrm{C}.
Arredondando de maneira prática para a prova, T\approx65,25^{\circ}\mathrm{C}. Verificação rápida: este valor está dentro do intervalo (20,100), conforme exigido na parte (a).

Passo 8

Resumo interpretativo rápido (ânimo!): a função é linear e contínua, por isso o TVI garante a existência de uma solução entre as extremidades ao trocar de sinal; a solução encontra-se simplesmente resolvendo a equação linear — saiu aproximadamente 65,25^{\circ}\mathrm{C}.

Resposta

Sim. Existe T\in(20^{\circ}\mathrm{C},100^{\circ}\mathrm{C}) tal que \rho(T)=2,0\times10^{-8}\\ \Omega\cdot\mathrm{m}.
T\approx65,25^{\circ}\mathrm{C}

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