Os grupos devem resolver os seguintes problemas usando o TVI:
A resistividade elétrica de um material varia continuamente com a temperatura segundo:
onde
a) Mostrar que existe uma temperatura entre
e
em que
b) Estimar essa temperatura
A resistividade elétrica de um material varia continuamente com a temperatura segundo:
onde
a) Mostrar que existe uma temperatura entre
b) Estimar essa temperatura
Passo 1
O enunciado dá a resistividade como função contínua da temperatura:
com os dados (peguei estes números do enunciado):
As perguntas são:
(a) Mostrar que existe uma temperatura entre e
em que
.
(b) Estimar essa temperatura numericamente.
(a) Mostrar que existe uma temperatura entre
(b) Estimar essa temperatura numericamente.
Passo 2
Vamos preparar o uso do Teorema do Valor Intermediário (TVI). Defino a função auxiliar
onde
é o valor que queremos alcançar. A ideia do TVI: se
for contínua num intervalo e
toma sinais opostos nas extremidades, então existe
interior tal que
. Explico por que
é contínua:
é uma combinação linear de
(produto e soma de constantes e de
), logo é contínua; subtrair a constante
mantém a continuidade. Então podemos aplicar o TVI no intervalo
se encontrarmos
e
com sinais opostos.
Passo 3
Calculo
. Substituindo
na expressão de
:
Portanto
Conclusão parcial:
é negativo.
Passo 4
Calculo
. Primeiro
:
Calculo
:
logo
Agora
que é positivo.
Passo 5
Aplicando o TVI: como
é contínua em
,
e
, existe pelo Teorema do Valor Intermediário algum
tal que
ou seja, existe
com
. Isso responde (a).
Passo 6
Agora estimamos essa temperatura resolvendo a equação linear. Partimos de
Substituindo a expressão de
:
Isolando
:
Aqui
é a temperatura de referência e
é a constante de temperatura; como
a divisão é válida.
Passo 7
Agora substituo os números:
Subtraindo 1:
Divido por
:
Finalmente
Arredondando de maneira prática para a prova,
. Verificação rápida: este valor está dentro do intervalo
, conforme exigido na parte (a).
Passo 8
Resumo interpretativo rápido (ânimo!): a função é linear e contínua, por isso o TVI garante a existência de uma solução entre as extremidades ao trocar de sinal; a solução encontra-se simplesmente resolvendo a equação linear — saiu aproximadamente
.
Resposta
Sim. Existe
tal que
.