Calcular \iint_{R}\left(y^{2}+x y\right) d x d y, onde R é a região delimitada por y=x, x=0 e x=2
Passo 1
O enunciado pede o cálculo da integral dupla
\iint_{R}\left(y^{2}+x y\right)\,dx\,dy,
onde R é a região delimitada por y=x, x=0 e x=2.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
As curvas dadas são a reta y=x e as retas verticais x=0 e x=2.
Os pontos de interseção entre y=x e as retas verticais são (0,0) e (2,2).
A região R é o triângulo que fica entre x=0 e x=2 e por baixo da reta y=x; isto é, geometricamente
R=\{(x,y)\mid 0\le x\le 2,\\\ 0\le y\le x\}.
A função a integrar é o polinômio y^{2}+x y, que é contínuo em todo \mathbb{R}^{2}, logo podemos usar integração iterada (teorema de Fubini).
Passo 2
Breve explicação conceitual (um mini‑aula): a integral dupla sobre uma região R que é “tipo I” (isto é, pode ser descrita como \{(x,y): a\le x\le b,\; g_1(x)\le y\le g_2(x)\}) pode ser calculada como uma integral iterada
Aqui f(x,y) é a função integranda; x e y são as variáveis. A razão disso funcionar é o teorema de Fubini, que diz que se f é contínua em R então as integrais iteradas existem e são iguais à integral dupla. No nosso caso, f(x,y)=y^{2}+x y é polinomial, logo contínua.
Passo 3
Determinar os limites de integração: já identificamos que R pode ser descrita por
0\le x\le 2,\qquad 0\le y\le x.
Portanto montamos a integral iterada integrando primeiro em y (porque os limites em y são simples: de 0 a x) e depois em x:
Interpretação final rápida e incentivo: a integral deu \dfrac{10}{3}. Esse é um bom exemplo de cálculo de integrais duplas em regiões triangulares: primeiro identifique bem os limites (desenhar o triângulo ajuda muito), escolha a ordem de integração que deixa os limites simples e trate a outra variável como constante quando fizer a primitiva. Você mandou bem chegando até aqui — repetir esse passo a passo em mais exercícios parecidos vai fixar totalmente.