1. Calcular \iint_{R}\left(y^{2}+x y\right) d x d y, onde R é a região delimitada por y=x, x=0 e x=2

Passo 1

O enunciado pede o cálculo da integral dupla
\iint_{R}\left(y^{2}+x y\right)\,dx\,dy,
onde R é a região delimitada por y=x, x=0 e x=2.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • As curvas dadas são a reta y=x e as retas verticais x=0 e x=2.
  • Os pontos de interseção entre y=x e as retas verticais são (0,0) e (2,2).
  • A região R é o triângulo que fica entre x=0 e x=2 e por baixo da reta y=x; isto é, geometricamente
R=\{(x,y)\mid 0\le x\le 2,\\\ 0\le y\le x\}.
  • A função a integrar é o polinômio y^{2}+x y, que é contínuo em todo \mathbb{R}^{2}, logo podemos usar integração iterada (teorema de Fubini).

Passo 2

Breve explicação conceitual (um mini‑aula): a integral dupla sobre uma região R que é “tipo I” (isto é, pode ser descrita como \{(x,y): a\le x\le b,\; g_1(x)\le y\le g_2(x)\}) pode ser calculada como uma integral iterada
\iint_{R} f(x,y)\,dx\,dy = \int_{x=a}^{b}\left(\int_{y=g_1(x)}^{g_2(x)} f(x,y)\,dy\right)dx.
Aqui f(x,y) é a função integranda; x e y são as variáveis. A razão disso funcionar é o teorema de Fubini, que diz que se f é contínua em R então as integrais iteradas existem e são iguais à integral dupla. No nosso caso, f(x,y)=y^{2}+x y é polinomial, logo contínua.

Passo 3

Determinar os limites de integração: já identificamos que R pode ser descrita por
0\le x\le 2,\qquad 0\le y\le x.
Portanto montamos a integral iterada integrando primeiro em y (porque os limites em y são simples: de 0 a x) e depois em x:
\iint_{R}\left(y^{2}+x y\right)\,dx\,dy = \int_{x=0}^{2}\left(\int_{y=0}^{x}\left(y^{2}+x y\right)\,dy\right)dx.

Passo 4

Calcular a integral interna (em y):
  • A primitiva em y de y^{2} é \dfrac{y^{3}}{3}.
  • A primitiva em y de x y (tratando x como constante ao integrar em y) é x\cdot\dfrac{y^{2}}{2}.
Assim
\int_{y=0}^{x}\left(y^{2}+x y\right)\,dy = \left[\dfrac{y^{3}}{3} + x\cdot\dfrac{y^{2}}{2}\right]_{y=0}^{y=x}.

Passo 5

Avaliar a primitiva nos limites y=0 e y=x:
\left.\left(\dfrac{y^{3}}{3} + x\cdot\dfrac{y^{2}}{2}\right)\right|_{0}^{x} = \dfrac{x^{3}}{3} + x\cdot\dfrac{x^{2}}{2} - 0 = \dfrac{x^{3}}{3} + \dfrac{x^{3}}{2}.
Somando as frações:
\dfrac{x^{3}}{3} + \dfrac{x^{3}}{2} = x^{3}\left(\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{2}\right) = x^{3}\cdot\dfrac{5}{6} = \dfrac{5x^{3}}{6}.
Portanto a integral dupla reduz-se a
\int_{0}^{2} \dfrac{5x^{3}}{6}\,dx.

Passo 6

Calcular a integral externa (em x):
  • A primitiva em x de x^{3} é \dfrac{x^{4}}{4}.
  • Logo,
\int_{0}^{2} \dfrac{5x^{3}}{6}\,dx = \dfrac{5}{6}\left[\dfrac{x^{4}}{4}\right]_{0}^{2} = \dfrac{5}{6}\cdot\left(\dfrac{2^{4}}{4}-0\right).
Como 2^{4}=16 e \dfrac{16}{4}=4, temos
\dfrac{5}{6}\cdot 4 = \dfrac{20}{6} = \dfrac{10}{3}.

Passo 7

Interpretação final rápida e incentivo: a integral deu \dfrac{10}{3}. Esse é um bom exemplo de cálculo de integrais duplas em regiões triangulares: primeiro identifique bem os limites (desenhar o triângulo ajuda muito), escolha a ordem de integração que deixa os limites simples e trate a outra variável como constante quando fizer a primitiva. Você mandou bem chegando até aqui — repetir esse passo a passo em mais exercícios parecidos vai fixar totalmente.

Resposta

\dfrac{10}{3}

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