1. Calcular \iint_{R} d x d y, onde R é delimitada pela elipse 4 x^{2}+9 y^{2}=1.

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral dupla
\iint_{R} dx\,dy,
onde R é a região do plano delimitada pela elipse
4x^{2}+9y^{2}=1.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A curva que delimita R é a elipse \;4x^{2}+9y^{2}=1.
  • A pergunta é o valor da área da região R (pois integrar 1 sobre R dá a área).

Passo 2

Entender a elipse: escrever a equação na forma canônica para identificar os semi-eixos. Dividindo por 1 obtemos
\frac{x^{2}}{(1/2)^{2}}+\frac{y^{2}}{(1/3)^{2}}=1.
Portanto os semi-eixos são
a=\frac{1}{2}\quad\text{(no eixo \(x\))},\qquad b=\frac{1}{3}\quad\text{(no eixo \(y\))}.

Passo 3

Ideia do método (explicação didática): para calcular a área de uma elipse é comum fazer uma mudança de variáveis linear que transforma a elipse numa circunferência unitária. Isso facilita porque a integração sobre um disco é simples. A mudança de variáveis é do tipo
x=\frac{u}{2},\qquad y=\frac{v}{3},
que contrai o eixo x por 2 e o eixo y por 3. Explicando o porquê: se (u,v) satisfazem u^{2}+v^{2}=1 (círculo unitário), então substituindo na transformação acima a equação da elipse é satisfeita:
4x^{2}+9y^{2}=4\left(\frac{u}{2}\right)^{2}+9\left(\frac{v}{3}\right)^{2}=u^{2}+v^{2}.

Passo 4

Calcular o fator de escala (Jacobiano) da mudança de variáveis. Definindo
T(u,v)=(x,y)=\left(\frac{u}{2},\frac{v}{3}\right),
o Jacobiano é a determinante da matriz das derivadas parciais:
J(u,v)=\det\begin{pmatrix} \frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x}{\partial v}\\[4pt] \frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial v} \end{pmatrix} =\det\begin{pmatrix} \frac{1}{2} & 0\\[4pt] 0 & \frac{1}{3} \end{pmatrix}=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{3}=\frac{1}{6}.
Interpretação simples: uma pequena área dudv no espaço (u,v) vira uma área \big|\!J(u,v)\!\big|\,dudv=\tfrac{1}{6}\,dudv no espaço (x,y).]

Passo 5

Aplicar a mudança de variáveis na integral. A região R em (x,y) corresponde ao disco unitário D em (u,v):
D=\{(u,v)\mid u^{2}+v^{2}\le 1\}.
Então
\iint_{R} dx\,dy=\iint_{D}\big|J(u,v)\big|\,du\,dv=\frac{1}{6}\iint_{D}du\,dv.

Passo 6

Calcular a área do disco D. A área do disco unitário é bem conhecida:
\iint_{D}du\,dv=\pi\cdot 1^{2}=\pi.
Portanto
\iint_{R}dx\,dy=\frac{1}{6}\cdot\pi=\frac{\pi}{6}.

Passo 7

Observação alternativa (fórmula direta): a área de uma elipse com semi-eixos a e b é \pi a b. Aqui a=\tfrac{1}{2} e b=\tfrac{1}{3}, então a área é
\pi\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{3}=\frac{\pi}{6},
o que confirma o resultado obtido pela mudança de variáveis.

Resposta

\dfrac{\pi}{6}

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