Um guia de onda de 2 cm por 3 cm é preenchido com um material dielétrico, com varepsilonr=4. Se o guia opera a 20 GHz no modo TM11, determine:
a) a frequência de corte.
b) a constante de fase.
c) a velocidade de fase.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre um guia de onda retangular com dimensões de 2 cm por 3 cm, preenchido com um material dielétrico que tem permissividade relativa varepsilonr=4. O guia está operando a 20 GHz no modo TM11. Precisamos determinar três coisas: a frequência de corte, a constante de fase e a velocidade de fase. Para isso, vamos usar as fórmulas de guias de onda retangulares e entender os conceitos por trás delas.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a frequência de corte ( fc) para o modo TM11. A frequência de corte é a menor frequência na qual um modo específico pode se propagar pelo guia de onda. Para guias de onda retangulares, a fórmula da frequência de corte para o modo TMmn é:
fc = c2 raizvarepsilonr raiz(ma)^2 + (nb)^2
Onde:
  • c é a velocidade da luz no vácuo ( approx 3 times 10^8 , m/s).
  • varepsilonr é a permissividade relativa do material.
  • a e b são as dimensões do guia de onda.
  • m e n são os números de modo nas direções a e b, respectivamente.
Vamos converter as dimensões para metros:
  • a = 2 , cm = 0,02 , m
  • b = 3 , cm = 0,03 , m
Para o modo TM11, temos m=1 e n=1. Substituindo na fórmula:
fc = 3 times 10^82 raiz4 raiz(10,02)^2 + (10,03)^2
Calculando dentro da raiz:
(10,02)^2 = 2500 e (10,03)^2 approx 1111,11
Somando:
2500 + 1111,11 = 3611,11
Calculando a raiz:
raiz3611,11 approx 60,12 , m^-1
Agora, substituindo de volta:
fc = 3 times 10^82 times 2 times 60,12 = 3 times 10^84 times 60,12 approx 4,507 times 10^9 , Hz = 4,507 , GHz

Passo 3

Agora, vamos determinar a constante de fase ( beta). A constante de fase indica como a fase da onda varia ao longo da propagação no guia. A fórmula para beta em um guia de onda é:
beta = raiz(2pi fv)^2 - (2pi fcv)^2 = 2pilambda raiz(ffc)^2 - 1
Onde:
  • f é a frequência de operação (20 GHz).
  • v é a velocidade de propagação no meio, que é c/raizvarepsilonr.
  • lambda é o comprimento de onda no guia.
Vamos primeiro calcular a velocidade de propagação:
v = 3 times 10^8raiz4 = 3 times 10^82 = 1,5 times 10^8 , m/s
Agora, usando a fórmula de beta:
beta = raiz(2pi times 20 times 10^91,5 times 10^8)^2 - (2pi times 4,507 times 10^91,5 times 10^8)^2
Calculando os termos separadamente:
2pi times 20 times 10^91,5 times 10^8 = 40pi times 10^91,5 times 10^8 approx 837,76 , rad/m
2pi times 4,507 times 10^91,5 times 10^8 = 9,014pi times 10^91,5 times 10^8 approx 188,05 , rad/m
Agora, calculando beta:
beta = raiz(837,76)^2 - (188,05)^2 approx raiz703,000 - 35,31 approx raiz667,689 approx 817,2 , rad/m

Passo 4

Por fim, vamos calcular a velocidade de fase ( vp). A velocidade de fase indica a velocidade com que os picos da onda se movem ao longo do guia. A fórmula para vp é:
vp = omegabeta = 2pi fbeta
Onde:
  • omega = 2pi f
  • f = 20 , GHz
  • beta = 817,2 , rad/m
Substituindo os valores:
vp = 2pi times 20 times 10^9817,2 approx 125,66 times 10^9817,2 approx 1,538 times 10^8 , m/s

Resposta

a) A frequência de corte é aproximadamente 4,507 GHz.
b) A constante de fase é aproximadamente 817,2 rad/m.
c) A velocidade de fase é aproximadamente 1,538 × 10⁸ m/s.

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