Os parâmetros de certa linha de transmissão, operando em omega= 6 times^8 rad / s, são: L=0,35 mu H / m, C=40 pF / m, G=75 mu S / m e R= 17 Omega / m. Calcule a constante de propagação na linha (gamma ), o coeficiente de atenuação (alpha), coeficiente de defasamento ( beta ), comprimento de onda (lambda) e a impedância característica expressa pelos parâmetros da linha.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem que calcular alguns parâmetros de uma linha de transmissão elétrica, como a constante de propagação, coeficiente de atenuação, coeficiente de defasamento, comprimento de onda e a impedância característica. A matéria aqui envolve conceitos de linhas de transmissão e circuitos de corrente alternada. Para isso, a gente vai precisar das fórmulas que relacionam os parâmetros da linha (L, C, G, R) com os que temos que encontrar (γ, α, β, λ, Z₀).

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a constante de propagação (γ). A constante de propagação é um número complexo que descreve como um sinal se propaga ao longo da linha de transmissão. Ela é dada pela fórmula:
gamma = alpha + jbeta
Onde:
  • gamma = raiz(R + jomega L)(G + jomega C) é o coeficiente de atenuação (em Nepers por metro),
  • é o coeficiente de defasamento (em radianos por metro),
  • é a unidade imaginária.
Para encontrar γ, usamos a fórmula:
Vamos calcular passo a passo.

Passo 3

Vamos substituir os valores dados na fórmula:
R = 17 , Omega/m L = 0,35 times 10^-6 , H/m G = 75 times 10^-6 , S/m C = 40 times 10^-12 , F/m omega = 6 times 10^8 , rad/s
Primeiro, calculamos R + jomega L = 17 + j(6 times 10^8)(0,35 times 10^-6) = 17 + j210 , Omega/m :
G + jomega C = 75 times 10^-6 + j(6 times 10^8)(40 times 10^-12) = 75 times 10^-6 + j24 , S/m
Agora, calculamos :

Passo 4

Agora, multiplicamos as duas expressões:
(R + jomega L)(G + jomega C) = (17 + j210)(75 times 10^-6 + j24)
Vamos expandir essa multiplicação:
= 17 times 75 times 10^-6 + 17 times j24 + j210 times 75 times 10^-6 + j210 times j24
Lembrando que = 0,001275 + j0,408 + j0,01575 - 5040 times 10^-6 :
= (0,001275 - 0,00504) + j(0,408 + 0,01575)
= -0,003765 + j0,42375

Passo 5

Agora, calculamos a raiz quadrada desse número complexo para encontrar γ:
gamma = raiz-0,003765 + j0,42375
Para simplificar, usamos a fórmula para a raiz de um número complexo raiza + jb = raiz|a + jb| + a2 + j cdot sign(b) raiz|a + jb| - a2 :
|a + jb| = raiza^2 + b^2 = raiz(-0,003765)^2 + (0,42375)^2 approx 0,4238
Calculando o módulo alpha = raiz0,4238 - 0,0037652 approx raiz0,210 approx 0,458 , Np/m :
beta = raiz0,4238 + 0,0037652 approx raiz0,2138 approx 0,462 , rad/m
Agora:

Passo 6

Agora que temos lambda = 2pibeta , podemos seguir para o próximo item.
Para encontrar o comprimento de onda ( lambda = 2pi0,462 approx 6,2830,462 approx 13,6 , m ), usamos a relação:
Substituindo o valor de :

Passo 7

Agora, vamos calcular a impedância característica ( Z0 = raizR + jomega LG + jomega C ). A impedância característica é dada por:
Z0 = raiz17 + j21075 times 10^-6 + j24
Usando os valores já calculados para Z0 = raiz(17 + j210)/75 times 10^-61 + j(24)/(75 times 10^-6) e |Z0| = raizraiz17^2 + 210^2raiz(75 times 10^-6)^2 + 24^2 approx raiz210.324 approx 2.96 , Omega , temos:
Calculando o numerador e denominador:
Primeiro, multiplicamos numerador e denominador por para simplificar:
Isso resulta em um cálculo complexo que, simplificando, nos dá um valor aproximado para . Para facilitar, usamos magnitude:

Resposta

A constante de propagação é , o coeficiente de atenuação é , o coeficiente de defasamento é , o comprimento de onda é e a impedância característica é aproximadamente .

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