GUIDORIZZI Uma calha de escoamento de água de chuva possui 5 metros de comprimento e suas extremidades verticais têm o formato de triângulos isósceles invertidos, com largura superior de 2 metros e profundidade vertical de
metros. Se a calha está sendo preenchida com água a uma taxa constante de
, quão rápido o nível do líquido sobe quando a profundidade da água atingir
metro?
Passo 1
O enunciado nos dá os seguintes dados e pede uma única coisa:
- Comprimento da calha:
metros. - As extremidades são triângulos isósceles invertidos com largura superior
metros quando a profundidade total é metros (peguei estes números do enunciado). - A água entra à taxa constante
(peguei este valor do enunciado). - Pergunta: quão rápido o nível do líquido sobe quando a profundidade da água é
metro? Ou seja, encontrar no instante em que .
Passo 2
Entender a forma geométrica e a relação entre largura e profundidade (sem pular etapas).
- A seção transversal da calha, vista de lado, é um triângulo isósceles de altura total
m e base (largura) correspondente m. - Quando a água atinge profundidade
(medida verticalmente a partir do fundo), a superfície livre da água forma uma largura que é proporcional à profundidade por semelhança de triângulos: os triângulos com alturas e têm bases proporcionais. - A propriedade de triângulos semelhantes: se dois triângulos têm os mesmos ângulos, os lados correspondentes são proporcionais. Aqui a proporção entre a base e a altura é constante, portanto
- Simplificando a fração da direita:
. Logo a relação entre e é
Passo 3
Calcular a área da seção triangular ocupada pela água em função de
.
- Área de um triângulo =
base altura. - Aqui a base é
e a altura é . Substituindo em termos de :
- Interpretação: conforme
aumenta, a área transversal cresce como .
Passo 4
Expressar o volume de água
na calha como função de
.
- A calha tem comprimento constante
m, então o volume é área da seção vezes comprimento:
- Agora temos
em função de . Isso é ótimo para usar taxas relacionadas: muda no tempo porque muda.
Passo 5
Relacionar as taxas
e
diferenciando em relação ao tempo.
- Diferenciando ambos os lados de
em relação ao tempo ,
- Isolando
,
Passo 6
Substituir os valores numéricos e calcular
quando
.
- Temos
e . Substituindo:
- Calcular:
e . - Portanto
.
Você tá mandando bem — a ideia foi transformar geometria em função matemática, diferenciar e avaliar no instante pedido. Esse é o procedimento padrão para problemas de taxas relacionadas: expressar tudo em função de uma única variável que muda no tempo, depois derivar.