GUIDORIZZI Uma calha de escoamento de água de chuva possui 5 metros de comprimento e suas extremidades verticais têm o formato de triângulos isósceles invertidos, com largura superior de 2 metros e profundidade vertical de \mathbf{1 , 5} metros. Se a calha está sendo preenchida com água a uma taxa constante de \mathbf{0 , 6} \boldsymbol{m}^{\mathbf{3}} \boldsymbol{/} \mathbf{m i n}, quão rápido o nível do líquido sobe quando a profundidade da água atingir \mathbf{1} metro?

Passo 1

O enunciado nos dá os seguintes dados e pede uma única coisa:
  • Comprimento da calha: 5 metros.
  • As extremidades são triângulos isósceles invertidos com largura superior 2 metros quando a profundidade total é 1,5 metros (peguei estes números do enunciado).
  • A água entra à taxa constante \dfrac{dV}{dt}=0,6\\ \text{m}^3\!/\text{min} (peguei este valor do enunciado).
  • Pergunta: quão rápido o nível do líquido sobe quando a profundidade da água é 1 metro? Ou seja, encontrar \dfrac{dh}{dt} no instante em que h=1\\ \text{m}.

Passo 2

Entender a forma geométrica e a relação entre largura e profundidade (sem pular etapas).
  • A seção transversal da calha, vista de lado, é um triângulo isósceles de altura total 1,5 m e base (largura) correspondente 2 m.
  • Quando a água atinge profundidade h (medida verticalmente a partir do fundo), a superfície livre da água forma uma largura w que é proporcional à profundidade h por semelhança de triângulos: os triângulos com alturas h e 1,5 têm bases proporcionais.
  • A propriedade de triângulos semelhantes: se dois triângulos têm os mesmos ângulos, os lados correspondentes são proporcionais. Aqui a proporção entre a base e a altura é constante, portanto
\frac{w}{h}=\frac{2}{1,5}.
  • Simplificando a fração da direita: \dfrac{2}{1,5}=\dfrac{4}{3}. Logo a relação entre w e h é
w=\frac{4}{3}\,h.

Passo 3

Calcular a área da seção triangular ocupada pela água em função de h.
  • Área de um triângulo = \dfrac{1}{2}\times base \times altura.
  • Aqui a base é w e a altura é h. Substituindo w em termos de h:
A(h)=\frac{1}{2}\,w\,h=\frac{1}{2}\left(\frac{4}{3}h\right)h=\frac{2}{3}\,h^{2}.
  • Interpretação: conforme h aumenta, a área transversal cresce como h^{2}.

Passo 4

Expressar o volume de água V na calha como função de h.
  • A calha tem comprimento constante 5 m, então o volume é área da seção vezes comprimento:
V(h)=A(h)\times 5 = \frac{2}{3}\,h^{2}\times 5 = \frac{10}{3}\,h^{2}.
  • Agora temos V em função de h. Isso é ótimo para usar taxas relacionadas: V muda no tempo porque h muda.

Passo 5

Relacionar as taxas \dfrac{dV}{dt} e \dfrac{dh}{dt} diferenciando em relação ao tempo.
  • Diferenciando ambos os lados de V(h)=\dfrac{10}{3}h^{2} em relação ao tempo t,
\frac{dV}{dt}=\frac{d}{dt}\left(\frac{10}{3}h^{2}\right)=\frac{10}{3}\cdot 2h\cdot\frac{dh}{dt}=\frac{20}{3}\,h\,\frac{dh}{dt}.
  • Isolando \dfrac{dh}{dt},
\frac{dh}{dt}=\frac{\dfrac{dV}{dt}}{\dfrac{20}{3}\,h}=\frac{3}{20\,h}\,\frac{dV}{dt}.

Passo 6

Substituir os valores numéricos e calcular \dfrac{dh}{dt} quando h=1\\ \text{m}.
  • Temos \dfrac{dV}{dt}=0,6\\ \text{m}^3\!/\text{min} e h=1\\ \text{m}. Substituindo:
\frac{dh}{dt}=\frac{3}{20\cdot 1}\cdot 0,6=\frac{3}{20}\cdot 0,6.
  • Calcular: \dfrac{3}{20}=0,15 e 0,15\cdot 0,6=0,09.
  • Portanto \dfrac{dh}{dt}=0,09\\ \text{m/min}.
Você tá mandando bem — a ideia foi transformar geometria em função matemática, diferenciar e avaliar no instante pedido. Esse é o procedimento padrão para problemas de taxas relacionadas: expressar tudo em função de uma única variável que muda no tempo, depois derivar.

Resposta

0,09\\ \text{m/min}

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