Um guincho é usado para abaixar pesos no mar ( \rho_{\text {água do mar }}=1025 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}á ) para um projeto de construção submarina. Determine a tensão no cabo do guincho devida a um bloco de concreto retangular de 0,4 \mathrm{mx} 0,4 \mathrm{m} \times 3 \mathrm{~m} ( \rho_{\text {concreto }}=2300 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3} ) (a) suspenso no ar (b) completamente imerso na água.

Passo 1

O enunciado pede que a gente determine a tensão no cabo do guincho causada por um bloco de concreto retangular nas duas situações: (a) suspenso no ar e (b) completamente imerso na água do mar. Dados fornecidos pelo enunciado:
\rho_{\text{água do mar}} = 1025\\ \mathrm{kg/m^{3}}á (densidade da água do mar),
\rho_{\text{concreto}} = 2300\\ \mathrm{kg/m^{3}} (densidade do concreto),
dimensões do bloco: 0,4\\ \mathrm{m}\times 0,4\\ \mathrm{m}\times 3\\ \mathrm{m}.
Vamos usar g = 9,81\\ \mathrm{m/s^{2}}.
As perguntas são: qual é a tensão no cabo em (a) e em (b)?

Passo 2

Primeiro vamos relembrar e calcular o volume e a massa do bloco — isso é essencial para achar o peso. Conceito rápido: densidade \rho é a relação entre massa m e volume V, ou seja
\rho = \frac{m}{V},
então
m = \rho\,V.
O volume do bloco retangular é base vezes altura vezes comprimento. Aqui:
V = 0,4\cdot 0,4\cdot 3.
Calculemos:
V = 0,4\times0,4\times3 = 0,48\\ \mathrm{m^{3}}.
Agora a massa do bloco usando \rho_{\text{concreto}}=2300\\ \mathrm{kg/m^{3}}:
m = \rho_{\text{concreto}}\,V = 2300\times0,48 = 1104\\ \mathrm{kg}.
Expliquei: agora temos a massa, que é o que multiplicamos por g para obter o peso.

Passo 3

O peso (força gravitacional) é dado por W = m g. Aqui
W = 1104\times 9,81.
Calculemos:
W = 1104\times 9,81 = 10830,24\\ \mathrm{N}.
Didática: a tensão no cabo quando o bloco está apenas suspenso no ar (sem empuxo) é igual ao peso do bloco, porque o cabo precisa suportar toda a força gravitacional. Assim, no ar, a tensão é igual a W.

Passo 4

Agora vamos tratar do caso em que o bloco está completamente imerso na água: aparece a força de empuxo (ou: força de Arquimedes). Conceito: o empuxo E é igual ao peso do fluido deslocado pelo corpo imerso. Matematicamente,
E = \rho_{\text{fluido}}\,V\,g,
onde \rho_{\text{fluido}} é a densidade do fluido (aqui água do mar) e V é o volume do corpo imerso (aqui o bloco, completamente imerso), e g é a aceleração da gravidade. Isso vem do princípio de Arquimedes: o fluido empurra para cima com uma força igual ao peso do fluido que ocupava o lugar do corpo.

Passo 5

Calculemos o empuxo com \rho_{\text{água do mar}} = 1025\\ \mathrm{kg/m^{3}}á e V=0,48\\ \mathrm{m^{3}}:
E = 1025\times 0,48\times 9,81.
Primeiro 1025\times0,48 = 492\\ \mathrm{kg} (massa de água deslocada). Então
E = 492\times 9,81 = 4826,52\\ \mathrm{N}.
Didática: esse é o “peso da água” que o bloco substitui; essa força atua para cima e diminui a carga que o cabo precisa suportar.

Passo 6

A tensão no cabo quando o bloco está completamente imerso é a diferença entre o peso do bloco para baixo e o empuxo para cima:
T_{\text{imerso}} = W - E.
Substituindo os valores:
T_{\text{imerso}} = 10830,24 - 4826,52 = 6003,72\\ \mathrm{N}.
Pequeno comentário motivador: como \rho_{\text{concreto}} > \rho_{\text{água}}á, o empuxo não anula o peso inteiro; a tensão continua positiva (o bloco ainda puxa para baixo), só que com menor intensidade do que no ar.

Resposta

(a) T_{\text{ar}} = 10830,24\\ \mathrm{N}
(b) T_{\text{imerso}} = 6003,72\\ \mathrm{N}

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