Questão 5. Determine o efeito de um vórtice
posicionado a uma distância ao longo da linha de corda igual
do bordo de ataque de uma placa plana submetida ao escoamento uniforme
com ângulo de ataque
sobre a sustentação gerada pela placa. Compare também o valor de
em um ponto no extradorso da placa a uma distância de
da corda em relação ao bordo de ataque nas condição sem e com o vórtice e repita a comparação para outro ponto no extradorso a uma distância de
da corda em relação ao bordo de ataque. Considere
e
positivo e igual a
da circulação em torno da placa.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas principais.
- Determinar o efeito de um vórtice de intensidade
posicionado ao longo da linha de corda, a uma distância igual a do bordo de ataque, sobre a sustentação gerada por uma placa plana submetida a um escoamento uniforme com ângulo de ataque . - Comparar o valor de
em um ponto no extradorso da placa a da corda (ou seja desde o bordo de ataque) nas condições sem e com o vórtice; e fazer a mesma comparação para outro ponto no extradorso a da corda (ou seja ).
Dados explícitos que o enunciado fornece:
-
. -
é positivo e igual a da circulação em torno da placa (ou seja ). - Escoamento uniforme
e ângulo de ataque (pequeno, assume-se regime linear). - Pede-se comparação “sem e com o vórtice” em dois pontos no extradorso.
Observação importante (não é pergunta): o enunciado dá a posição ao longo da corda (isto é, a coordenada
relativa ao bordo de ataque), mas NÃO especifica a distância perpendicular (a coordenada
) do vórtice em relação à superfície da placa. Para calcular numericamente as perturbações de velocidade e
num ponto da superfície é imprescindível conhecer essa distância
(ou seja, a posição do vórtice na direção normal à placa). Vou seguir a formulação analítica que permite ver claramente como o resultado depende de
; onde for necessário eu explicito que falta o valor numérico.
Passo 2
Escolha do método e justificativa (breve e direta)
- Vou usar superposição (fluido potencial 2D): escoamento uniforme + circulação ligada à placa (teoria da asa delgada) + um vórtice pontual externo. Essa escolha obedece ao algoritmo pedido: enunciado não exige método específico, a “matéria da prova” é aerodinâmica potencial / teoria da asa delgada, e isso é o método mais simples e adequado para obter expressões analíticas úteis em prova.
- Simplificações usadas: ângulo
pequeno (linearização), placa muito fina (linha média sobre o eixo ), fluxo incompressível, irrotacional exceto no(s) vórtice(s), e a superposição é válida.
Passo 3
Circulação da placa sem o vórtice (fórmula padrão da teoria da asa delgada)
- Pela teoria da asa delgada para uma placa plana com ângulo de ataque pequeno
(radianos), a circulação em torno da placa é
Explicação rápida: esta é a fórmula clássica que vem da solução da equação integral de Galerkin/asa delgada; significa que a placa precisa de uma circulação proporcional a
para gerar sustentação linear com
.
Passo 4
Valor do vórtice dado como fração da circulação da placa e posição longitudinal
- Como
obtemos
- A posição longitudinal (medida a partir do bordo de ataque) é
Ou seja, o vórtice fica a
à frente (upstream) do bordo de ataque (coordenada negativa em relação ao bordo de ataque). A coordenada perpendicular ao eixo da placa (distância vertical da placa até o vórtice) vou chamá-la de
e ela NÃO foi informada pelo enunciado — os resultados numéricos dependerão de
.
Passo 5
Velocidade induzida por um vórtice pontual (fórmula e interpretação)
- Para um vórtice pontual de intensidade
localizado em (sistema cartesiano com a placa ao longo do eixo e extradorso em ), a velocidade induzida no ponto tem componentes (campo do vórtice em 2D)
Explicação: para circulação positiva (contrária ao relógio), o sinal mostra que, se
(vórtice acima da placa), o componente tangencial
no extradorso é positivo (adiciona velocidade na direção do escoamento de freestream).
Passo 6
Ligação entre a velocidade tangencial perturbada e o coeficiente de pressão (linearização)
- Para perturbações pequenas podemos linearizar a relação de Bernoulli e obter a mudança no coeficiente de pressão devido à velocidade induzida:
Explicação: linearmente,
quando
; aqui a perturbação tangencial principal é
.
Substituindo
e
encontramos uma expressão simples (observe que muitos termos cancelam):
Agora substituímos
, obtendo uma forma sem
:
Dividindo distâncias pela corda para ficar em termos adimensionais (
,
,
):
Isto dá a variação de
no extradorso em função da posição adimensional
e da distância adimensional
.
Passo 7
Aplicação desta fórmula nos dois pontos pedidos (5% e 95% da corda)
- Temos
. - Para
(5% da corda), . Assim
- Para
(95% da corda), . Assim
Interpretação de sinal e comparação:
- Se
(vórtice acima da placa) então e . Isso significa que, no extradorso, a presença do vórtice reduz (mais pressão negativa / maior sucção) — ou seja, aumenta a força de sustentação da placa. - A magnitude de
no ponto é maior do que em porque ; o ponto mais próximo longitudinalmente do vórtice sente um efeito mais forte.
Passo 8
Efeito total sobre a sustentação (variação do coeficiente de sustentação)
- A variação do coeficiente de sustentação (adimensional) pode ser obtida integrando a variação de
sobre a corda. Para mudança causada apenas na superfície superior (e lembrando que a variação no inferior dará contribuição complementar, mas assumimos aqui o efeito direto no extradorso como representativo), integramos a expressão acima:
(negativo porque
). Substituindo
e integrando a função tipo
encontramos (operações mostradas abaixo):
Com
isso fica
Interpretação:
- Para
(vórtice acima da placa) a expressão entre colchetes é positiva, logo : a presença do vórtice aumenta o coeficiente de sustentação total da placa. - Quanto menor
(vórtice mais próximo da superfície), maior será a diferença entre os arctangentes e, portanto, maior o aumento de sustentação. - Se o vórtice estivesse abaixo da placa (
), o sinal inverte e a sustentação diminuiria.
Passo 9
Conclusões práticas e limitação numérica
- Resultado qualitativo e dependência dos parâmetros:
- O vórtice, estando a
à frente do bordo de ataque e com , exerce um efeito de aumento da sucção no extradorso (para ), aumentando a sustentação total. - O efeito local sobre
é mais intenso perto da posição longitudinal do vórtice; assim o ponto a da corda (mais próximo do vórtice) sente uma variação de maior do que o ponto a .
- O vórtice, estando a
- Limitação: para obter valores numéricos (por exemplo
numérico em cada ponto ou numérico) é obrigatório conhecer (distância perpendicular do vórtice à placa) e também o valor numérico de (em radianos). O enunciado não forneceu nem um valor específico para , portanto não é possível fornecer números finais; porém as fórmulas acima dão a resposta exata em função de e .
Resposta
O vórtice aumenta a sustentação da placa se estiver acima da placa (
); a variação do coeficiente de sustentação é
com
(
).\n
No extradorso a da corda a variação local de
devido ao vórtice é
No extradorso a
No extradorso a
da corda a variação local de
devido ao vórtice é
Observações finais: se
então
(mais sucção) em ambos os pontos; o efeito em
é muito maior do que em
. Não é possível dar valores numéricos sem conhecer
e o valor numérico de
.