Questão 5. Determine o efeito de um vórtice \Gamma_{v} posicionado a uma distância ao longo da linha de corda igual D-0,5 c do bordo de ataque de uma placa plana submetida ao escoamento uniforme U_{\infty} com ângulo de ataque \alpha sobre a sustentação gerada pela placa. Compare também o valor de C_{p} em um ponto no extradorso da placa a uma distância de 5 \% da corda em relação ao bordo de ataque nas condição sem e com o vórtice e repita a comparação para outro ponto no extradorso a uma distância de 95 \% da corda em relação ao bordo de ataque. Considere D=0,3 c e \Gamma_{v} positivo e igual a 10 \% da circulação em torno da placa.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas principais.
  1. Determinar o efeito de um vórtice de intensidade \Gamma_{v} posicionado ao longo da linha de corda, a uma distância igual a D-0,5\,c do bordo de ataque, sobre a sustentação gerada por uma placa plana submetida a um escoamento uniforme U_{\infty} com ângulo de ataque \alpha.
  2. Comparar o valor de C_{p} em um ponto no extradorso da placa a 5\% da corda (ou seja x=0,05c desde o bordo de ataque) nas condições sem e com o vórtice; e fazer a mesma comparação para outro ponto no extradorso a 95\% da corda (ou seja x=0,95c).
Dados explícitos que o enunciado fornece:
  • D=0,3\,c.
  • \Gamma_{v} é positivo e igual a 10\% da circulação em torno da placa (ou seja \Gamma_{v}=0{,}1\Gamma_{\text{placa}}).
  • Escoamento uniforme U_{\infty} e ângulo de ataque \alpha (pequeno, assume-se regime linear).
  • Pede-se comparação “sem e com o vórtice” em dois pontos no extradorso.
Observação importante (não é pergunta): o enunciado dá a posição ao longo da corda (isto é, a coordenada x relativa ao bordo de ataque), mas NÃO especifica a distância perpendicular (a coordenada y) do vórtice em relação à superfície da placa. Para calcular numericamente as perturbações de velocidade e C_{p} num ponto da superfície é imprescindível conhecer essa distância y_{v} (ou seja, a posição do vórtice na direção normal à placa). Vou seguir a formulação analítica que permite ver claramente como o resultado depende de y_{v}; onde for necessário eu explicito que falta o valor numérico.

Passo 2

Escolha do método e justificativa (breve e direta)
  • Vou usar superposição (fluido potencial 2D): escoamento uniforme + circulação ligada à placa (teoria da asa delgada) + um vórtice pontual externo. Essa escolha obedece ao algoritmo pedido: enunciado não exige método específico, a “matéria da prova” é aerodinâmica potencial / teoria da asa delgada, e isso é o método mais simples e adequado para obter expressões analíticas úteis em prova.
  • Simplificações usadas: ângulo \alpha pequeno (linearização), placa muito fina (linha média sobre o eixo x), fluxo incompressível, irrotacional exceto no(s) vórtice(s), e a superposição é válida.

Passo 3

Circulação da placa sem o vórtice (fórmula padrão da teoria da asa delgada)
  • Pela teoria da asa delgada para uma placa plana com ângulo de ataque pequeno \alpha (radianos), a circulação em torno da placa é
\Gamma_{\text{placa}} = 2\pi\,U_{\infty}\,c\,\alpha.
Explicação rápida: esta é a fórmula clássica que vem da solução da equação integral de Galerkin/asa delgada; significa que a placa precisa de uma circulação proporcional a U_{\infty}c\alpha para gerar sustentação linear com \alpha.

Passo 4

Valor do vórtice dado como fração da circulação da placa e posição longitudinal
  • Como \Gamma_{v}=0{,}1\,\Gamma_{\text{placa}} obtemos
\Gamma_{v} = 0{,}1 \times 2\pi U_{\infty} c \alpha = 0{,}2\pi\,U_{\infty}\,c\,\alpha.
  • A posição longitudinal (medida a partir do bordo de ataque) é
x_{v} = D - 0{,}5\,c = 0{,}3\,c - 0{,}5\,c = -0{,}2\,c.
Ou seja, o vórtice fica a 0{,}2\,c à frente (upstream) do bordo de ataque (coordenada negativa em relação ao bordo de ataque). A coordenada perpendicular ao eixo da placa (distância vertical da placa até o vórtice) vou chamá-la de y_{v} e ela NÃO foi informada pelo enunciado — os resultados numéricos dependerão de y_{v}.

Passo 5

Velocidade induzida por um vórtice pontual (fórmula e interpretação)
  • Para um vórtice pontual de intensidade \Gamma_{v} localizado em (x_{v},y_{v}) (sistema cartesiano com a placa ao longo do eixo x e extradorso em y=0^{+}), a velocidade induzida no ponto (x,0) tem componentes (campo do vórtice em 2D)
u_{\text{ind}}(x,0) = -\frac{\Gamma_{v}}{2\pi}\,\frac{0 - y_{v}}{(x-x_{v})^{2} + y_{v}^{2}} = \frac{\Gamma_{v}}{2\pi}\,\frac{y_{v}}{(x-x_{v})^{2} + y_{v}^{2}},
v_{\text{ind}}(x,0) = \frac{\Gamma_{v}}{2\pi}\,\frac{x - x_{v}}{(x-x_{v})^{2} + y_{v}^{2}}.
Explicação: para circulação positiva (contrária ao relógio), o sinal mostra que, se y_{v}>0 (vórtice acima da placa), o componente tangencial u_{\text{ind}} no extradorso é positivo (adiciona velocidade na direção do escoamento de freestream).

Passo 6

Ligação entre a velocidade tangencial perturbada e o coeficiente de pressão (linearização)
  • Para perturbações pequenas podemos linearizar a relação de Bernoulli e obter a mudança no coeficiente de pressão devido à velocidade induzida:
\Delta C_{p}(x)\approx -2\,\frac{u_{\text{ind}}(x,0)}{U_{\infty}}.
Explicação: linearmente, C_{p}=1-(V/U_{\infty})^{2}\approx -2(V-U_{\infty})/U_{\infty} quando V\approx U_{\infty}; aqui a perturbação tangencial principal é u_{\text{ind}}.
Substituindo u_{\text{ind}} e \Gamma_{v} encontramos uma expressão simples (observe que muitos termos cancelam):
\Delta C_{p}(x) = -2\frac{1}{U_{\infty}}\cdot\frac{\Gamma_{v}}{2\pi}\,\frac{y_{v}}{(x-x_{v})^{2}+y_{v}^{2}} = -\frac{\Gamma_{v}}{\pi U_{\infty}}\cdot\frac{y_{v}}{(x-x_{v})^{2}+y_{v}^{2}}.
Agora substituímos \Gamma_{v}=0{,}2\pi U_{\infty} c \alpha, obtendo uma forma sem U_{\infty}:
\Delta C_{p}(x) = -\frac{0{,}2\pi U_{\infty} c \alpha}{\pi U_{\infty}}\cdot\frac{y_{v}}{(x-x_{v})^{2}+y_{v}^{2}} = -0{,}2\,\alpha\,c\cdot\frac{y_{v}}{(x-x_{v})^{2}+y_{v}^{2}}.
Dividindo distâncias pela corda para ficar em termos adimensionais ( x' = x/c, x_{v}' = x_{v}/c, \eta = y_{v}/c):
\boxed{\Delta C_{p}(x') = -0{,}2\,\alpha\;\frac{\eta}{(x' - x_{v}')^{2} + \eta^{2}}.}
Isto dá a variação de C_{p} no extradorso em função da posição adimensional x'=x/c e da distância adimensional \eta=y_{v}/c.

Passo 7

Aplicação desta fórmula nos dois pontos pedidos (5% e 95% da corda)
  • Temos x_{v}'=x_{v}/c=-0{,}2.
  • Para x_{1}'=0{,}05 (5% da corda), x_{1}'-x_{v}'=0{,}05-(-0{,}2)=0{,}25. Assim
\boxed{\Delta C_{p}\bigl(x'=0{,}05\bigr) = -0{,}2\,\alpha\;\frac{\eta}{0{,}25^{2}+\eta^{2}}.}
  • Para x_{2}'=0{,}95 (95% da corda), x_{2}'-x_{v}'=0{,}95-(-0{,}2)=1{,}15. Assim
\boxed{\Delta C_{p}\bigl(x'=0{,}95\bigr) = -0{,}2\,\alpha\;\frac{\eta}{1{,}15^{2}+\eta^{2}}.}
Interpretação de sinal e comparação:
  • Se y_{v}>0 (vórtice acima da placa) então \eta>0 e \Delta C_{p}<0. Isso significa que, no extradorso, a presença do vórtice reduz C_{p} (mais pressão negativa / maior sucção) — ou seja, aumenta a força de sustentação da placa.
  • A magnitude de \Delta C_{p} no ponto x'=0{,}05 é maior do que em x'=0{,}95 porque 0{,}25^{2} \ll 1{,}15^{2}; o ponto mais próximo longitudinalmente do vórtice sente um efeito mais forte.

Passo 8

Efeito total sobre a sustentação (variação do coeficiente de sustentação)
  • A variação do coeficiente de sustentação (adimensional) pode ser obtida integrando a variação de C_{p} sobre a corda. Para mudança causada apenas na superfície superior (e lembrando que a variação no inferior dará contribuição complementar, mas assumimos aqui o efeito direto no extradorso como representativo), integramos a expressão acima:
\Delta C_{L} = -\int_{0}^{1} \Delta C_{p}(x')\,dx'
(negativo porque C_{L}=\int(C_{p,\text{inf}}-C_{p,\text{sup}})dx'). Substituindo \Delta C_{p} e integrando a função tipo 1/[(x'-x_{v}')^{2}+\eta^{2}] encontramos (operações mostradas abaixo):
\Delta C_{L} = 0{,}2\,\alpha\int_{0}^{1}\frac{\eta}{(x'-x_{v}')^{2}+\eta^{2}}\,dx' = 0{,}2\,\alpha\left[\arctan\!\biggl(\frac{1-x_{v}'}{\eta}\biggr)-\arctan\!\biggl(\frac{-x_{v}'}{\eta}\biggr)\right].
Com x_{v}'=-0{,}2 isso fica
\boxed{\Delta C_{L} = 0{,}2\,\alpha\left[\arctan\!\Bigl(\dfrac{1{,}2}{\eta}\Bigr)-\arctan\!\Bigl(\dfrac{0{,}2}{\eta}\Bigr)\right].}
Interpretação:
  • Para \eta>0 (vórtice acima da placa) a expressão entre colchetes é positiva, logo \Delta C_{L}>0: a presença do vórtice aumenta o coeficiente de sustentação total da placa.
  • Quanto menor \eta (vórtice mais próximo da superfície), maior será a diferença entre os arctangentes e, portanto, maior o aumento de sustentação.
  • Se o vórtice estivesse abaixo da placa ( \eta<0), o sinal inverte e a sustentação diminuiria.

Passo 9

Conclusões práticas e limitação numérica
  • Resultado qualitativo e dependência dos parâmetros:
    • O vórtice, estando a 0{,}2\,c à frente do bordo de ataque e com \Gamma_{v}=0{,}1\Gamma_{\text{placa}}, exerce um efeito de aumento da sucção no extradorso (para y_{v}>0), aumentando a sustentação total.
    • O efeito local sobre C_{p} é mais intenso perto da posição longitudinal do vórtice; assim o ponto a 5\% da corda (mais próximo do vórtice) sente uma variação de C_{p} maior do que o ponto a 95\%.
  • Limitação: para obter valores numéricos (por exemplo \Delta C_{p} numérico em cada ponto ou \Delta C_{L} numérico) é obrigatório conhecer \eta=y_{v}/c (distância perpendicular do vórtice à placa) e também o valor numérico de \alpha (em radianos). O enunciado não forneceu \,y_{v} nem um valor específico para \alpha, portanto não é possível fornecer números finais; porém as fórmulas acima dão a resposta exata em função de \eta e \alpha.

Resposta

O vórtice aumenta a sustentação da placa se estiver acima da placa ( y_{v}>0); a variação do coeficiente de sustentação é
\Delta C_{L} = 0{,}2\,\alpha\left[\arctan\!\Bigl(\dfrac{1{,}2}{\eta}\Bigr)-\arctan\!\Bigl(\dfrac{0{,}2}{\eta}\Bigr)\right],
com \eta = y_{v}/c ( x_{v}=-0{,}2c).\n
No extradorso a 5\% da corda a variação local de C_{p} devido ao vórtice é
\Delta C_{p}\bigl(x'=0{,}05\bigr) = -0{,}2\,\alpha\;\frac{\eta}{0{,}25^{2}+\eta^{2}}.
No extradorso a 95\% da corda a variação local de C_{p} devido ao vórtice é
\Delta C_{p}\bigl(x'=0{,}95\bigr) = -0{,}2\,\alpha\;\frac{\eta}{1{,}15^{2}+\eta^{2}}.
Observações finais: se y_{v}>0 então \Delta C_{p}<0 (mais sucção) em ambos os pontos; o efeito em x'=0{,}05 é muito maior do que em x'=0{,}95. Não é possível dar valores numéricos sem conhecer \eta=y_{v}/c e o valor numérico de \alpha.

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