Questão 4. Determine o efeito de um vórtice
posicionado a uma distância ao longo da linha de corda igual
do bordo de fuga de uma placa plana submetida ao escoamento uniforme
com ângulo de ataque
sobre a sustentação gerada pela placa. Compare também o valor de
em um ponto no extradorso da placa a uma distância de
da corda em relação ao bordo de ataque nas condição sem e com o vórtice e repita a comparação para outro ponto no extradorso a uma distância de
da corda em relação ao bordo de ataque. Considere
e
positivo e igual a
da circulação em torno da placa.
Passo 1
Vou esclarecer com calma o que o enunciado nos dá e o que pede — sem resolver nada ainda.
-
O que o enunciado pergunta:
- Determinar o efeito de um vórtice
posicionado ao longo da linha de corda sobre a sustentação gerada pela placa plana (ou seja, quanto a sustentação muda). - Comparar os valores de coeficiente de pressão
no extradorso (superfície superior) em dois pontos: um em da corda ( ) e outro em da corda ( ), nas condições sem e com o vórtice.
- Determinar o efeito de um vórtice
-
Dados fornecidos (importantes):
- Escoamento uniforme de velocidade
e ângulo de ataque (assumimos pequeno — hipótese típica). - A intensidade do vórtice é
positiva e igual a da circulação em torno da placa. - Foi dado
. - Localização do vórtice: o enunciado diz “posicionado a uma distância ao longo da linha de corda igual
do bordo de fuga” — isso está ambíguo. Para poder calcular números, vou adotar uma interpretação plausível e explicá-la claramente (se você tiver outra interpretação, posso refazer): eu interpreto que o vórtice está a montante do bordo de fuga, na posição longitudinal medida a partir da borda de ataque igual a
ou seja, o vórtice está emda corda a partir do bordo de ataque (próximo do bordo de fuga). Também vou assumir que o vórtice fica acima do extradorso a uma distância normal à corda igual a . Justifico: usamos como distância normal típica e a escolha é coerente com “próximo ao bordo de fuga”; essa escolha evita distâncias negativas e permite obter resultados numéricos interpretáveis. - Escoamento uniforme de velocidade
-
Resumo das hipóteses que vou usar (claras e necessárias):
- Placa fina tratada por teoria de aerofólio fino (thin airfoil theory): circulação ligada à placa sem vórtice
(válido para pequeno). -
(dado). - Vórtice localizado em
, . - Usarei superposição linear (campo de velocidade é soma do escoamento uniforme + induzido pelo vórtice) e linearização de Bernoulli para pequenas perturbações quando calcular
.
- Placa fina tratada por teoria de aerofólio fino (thin airfoil theory): circulação ligada à placa sem vórtice
Passo 2
Vou explicar o método que vou usar e por quê (passo a passo didático, sem pular etapas):
- Método para a sustentação: pela teoria de Kutta–Joukowski, para fluxo bidimensional a sustentação por unidade de envergadura é
onde é a circulação efetiva ligada ao aerofólio. A presença do vórtice externo cria um campo de velocidade adicional sobre a placa; esse campo altera a distribuição de velocidade tangencial na superfície e, por integração da pressão perturbada, dá uma variação de sustentação. Uma forma direta (e padrão) é calcular a variação de sustentação integrando o efeito do campo induzido sobre a placa: onde é a componente tangencial da velocidade induzida pelo vórtice na superfície (obtida por Biot–Savart). Esse procedimento é apropriado porque, linearmente, a mudança de pressão está ligada ao e a integração dá a força resultante. - Método para
pontual: a velocidade local tangencial sobre o extradorso sem vórtice (solução da teoria do aerofólio fino) dá um . A presença do vórtice adiciona um e, linearizando para perturbações pequenas, a variação de é aproximadamente porque e, para com , temos (descontando termos quadráticos). Esta aproximação é usada amplamente em perturbações de baixa amplitude e é adequada para nosso caso educacional. - Justificativa da escolha: essa abordagem usa conceitos básicos (Biot–Savart, Kutta–Joukowski, linearização de Bernoulli), são ferramentas ensinadas cedo e permitem obter resultados numéricos com poucas hipóteses. É manejável em prova e dá respostas físicas interpretáveis.
Passo 3
Expressões iniciais e circulação de referência (só álgebra direta):
- Circulação ligada à placa (teoria do aerofólio fino, para
pequeno): - Vórtice dado:
Passo 4
Velocidade induzida por um vórtice pontual (Biot–Savart) — fórmula e não pulo etapas:
- Considere o vórtice pontual de intensidade
localizado em . O campo de velocidade induzido por ele em um ponto (na superfície da placa) tem componente tangencial (para a direção x) dada por (fórmula bi-dimensional padrão): Explico: essa expressão vem do campo de velocidade de um vórtice pontual rotacional; ao projetar na direção tangencial sobre obtemos esse numerador com . - Tornando adimensional (útil para substituir
): defina , , . Substituindo e simplificando: Observação: essa forma mostra que é proporcional a (porque ) e que a geometria normalizada ( ) determina a distribuição.
Passo 5
Cálculo da variação de sustentação
decorrente do vórtice (integração explícita):
- A variação de força por unidade de envergadura pode ser obtida (linha de raciocínio já dada no Passo 2) por
Substituímos a expressão de : - A integral
é conhecida e dá uma diferença de arctan: Portanto - Agora substituímos
e dividimos pela sustentação original para obter a variação relativa: Como , isso simplifica para - Substituindo os valores numéricos (minha escolha:
, ): -
→ rad. -
→ rad. - Diferença:
rad.
Assim
-
- Interpretação direta: com as hipóteses adotadas, o vórtice com
da circulação da placa, localizado em , aumenta a sustentação da placa em cerca de . (Aumenta porque e a integração resultou positiva.)
Passo 6
Cálculo do
nos pontos
e
, sem e com o vórtice — passo a passo e bem didático:
-
Primeiro: expressão do
sem vórtice (linha fina — teoria do aerofólio fino). A distribuição de vorticidade para um aerofólio fino simétrico em é (fórmula padrão): onde a coordenadaestá relacionada a por A relação entree a velocidade tangencial na superfície superior é, na aproximação linear, então, para pequenas perturbações, uma aproximação prática parana superfície superior é (Expliquei: expandindoe desprezando termos de ordem chega-se a essa forma linear.) -
Agora calculemos para os dois pontos (faço a conversão
, com ): -
Para
( ): -
. -
-
- Logo
-
-
Para
( ): -
-
(mesmo valor numérico). -
- Logo
-
-
-
Agora a variação
causada pelo vórtice, usando a linearização indicada: onde adotamose . Calculemosem cada ponto: -
Em
: Então -
-
Em
: Então -
-
-
Interpretação numérica e física:
- No ponto perto do bordo de ataque (
da corda) a variação de é pequena em relação ao valor base: passa de para — mudança de cerca de do valor absoluto. Isso acontece porque o vórtice está relativamente longe em (distância longitudinal grande), logo sua influência local é fraca. - No ponto perto do bordo de fuga (
da corda) a variação é significativa: vai de para — um aumento grande em magnitude. Explicação física: o vórtice está localizado próximo desse ponto (longitudinalmente), então induz uma velocidade tangencial forte ali, modificando muito .
- No ponto perto do bordo de ataque (
Passo 7
Resumo físico final e comentário de prova (motivação + coragem):
- Concluímos com as hipóteses dadas (e com a interpretação explícita da posição do vórtice): o vórtice positivo com intensidade igual a
da circulação ligada ao aerofólio aumenta a sustentação da placa em cerca de . O efeito espacial não é uniforme: perto do bordo de ataque o praticamente não muda; perto do bordo de fuga a mudança é grande porque o vórtice está próximo. - Observação importante: se você alterar a posição vertical
ou longitudinal do vórtice as parcelas numéricas mudam — o procedimento permanece o mesmo (usar Biot–Savart para , integrar para e linearizar para ). Se preferir, eu refaço os cálculos para outra interpretação da posição do vórtice (por exemplo menor ou diferente). - Força extra de ânimo: está difícil no começo, mas esse tipo de problema é só aplicação de Biot–Savart + integração + linearização; você já fez o mais complicado agora. Vamos que dá tempo de treinar mais uns exemplos parecidos!
Resposta
Aumenta a sustentação em aproximadamente
.\n
em
sem vórtice:
.\n
em
com vórtice:
.\n
em
sem vórtice:
.\n
em
com vórtice:
.