Uma onda plana propagando-se em um meio com \varepsilon_{r}=8 e \mu_{r}=2 tem um campo elétrico na forma E=0,5 \cdot \exp (-z / 3) \sin \left(10^{8} \cdot t-\beta \cdot z\right) \hat{\mathbf{i}}[\mathrm{V} / \mathrm{m}]. Calcule
(a) a velocidade de fase v
(b) \beta
(c) a tangente de perdas \operatorname{Tan}(\delta)
(d) a impedância da onda \eta
(e) o campo \boldsymbol{H}

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede.
Dados do enunciado:
  • Meio com \varepsilon_{r}=8 e \mu_{r}=2.
  • Campo elétrico (no domínio do tempo) fornecido:
E=0{,}5\cdot e^{-z/3}\sin\!\bigl(10^{8}t-\beta z\bigr)\,\hat{\mathbf{i}}\\ [\mathrm{V}/\mathrm{m}].
  • A forma exponencial e^{-z/3} indica um decaimento espacial do campo; portanto o termo de atenuação espacial é \alpha=\dfrac{1}{3}\\ \mathrm{m}^{-1}.
  • A pulsação é \omega=10^{8}\\ \mathrm{rad/s}.
O enunciado pede:
(a) a velocidade de fase v;
(b) o coeficiente de fase \beta;
(c) a tangente de perdas \Tan(\delta);
(d) a impedância da onda \eta (complexa);
(e) o campo magnético \mathbf{H} no domínio do tempo correspondente ao \mathbf{E} dado.

Passo 2

Relações fundamentais e simplificações úteis (passo-a-passo didático).
  • Vamos usar as constantes do vácuo:
\mu_{0}=4\pi\times10^{-7}\\ \mathrm{H/m},\qquad \varepsilon_{0}\approx8{,}854\times10^{-12}\\ \mathrm{F/m},
e, por definição,
\mu=\mu_{0}\mu_{r},\qquad \varepsilon=\varepsilon_{0}\varepsilon_{r}.
  • Definimos a pulsação \omega=10^{8}\\ \mathrm{rad/s} (já dada) e o parâmetro
X \equiv \omega\sqrt{\mu\varepsilon}.
Usando \sqrt{\mu\varepsilon}=\dfrac{1}{c}\sqrt{\mu_{r}\varepsilon_{r}} e c\approx3\cdot10^{8}\\ \mathrm{m/s}, obtemos
X=\frac{\omega}{c}\sqrt{\mu_{r}\varepsilon_{r}}.
Substituindo \omega=10^{8}, c=3\cdot10^{8} e \mu_{r}\varepsilon_{r}=2\cdot8=16,
\frac{\omega}{c}=\frac{10^{8}}{3\cdot10^{8}}=\frac{1}{3},\qquad \sqrt{\mu_{r}\varepsilon_{r}}=\sqrt{16}=4,
portanto
X=\frac{1}{3}\cdot4=\frac{4}{3}\\ \mathrm{m}^{-1}.
  • Para um meio condutor genérico define-se a tangente de perdas
\tan\delta \equiv \frac{\sigma}{\omega\varepsilon} \quad(\text{\(\sigma\) é a condutividade}).é
O número de propagação complexo vale
\gamma=\alpha+j\beta=j\omega\sqrt{\mu\varepsilon(1-j\tan\delta)}.
Das fórmulas padrão resulta (expressões que relacionam \alpha,\beta com \omega,\mu,\varepsilon,\tan\delta):
\alpha = X\sqrt{\frac{\sqrt{1+\tan^{2}\delta}-1}{2}}, \qquad \beta = X\sqrt{\frac{\sqrt{1+\tan^{2}\delta}+1}{2}},
onde já usamos X=\omega\sqrt{\mu\varepsilon}.

Passo 3

Determinar \Tan(\delta) a partir de \alpha.
  • Já sabemos \alpha=\dfrac{1}{3}\\ \mathrm{m}^{-1} e X=\dfrac{4}{3}\\ \mathrm{m}^{-1}. Definindo
a\equiv\frac{\alpha}{X},
temos
a=\frac{1/3}{4/3}=\frac{1}{4}=0{,}25.
  • A relação para \alpha
a^{2}=\frac{\sqrt{1+\tan^{2}\delta}-1}{2}.
Resolva para \tan^{2}\delta:
\sqrt{1+\tan^{2}\delta}=1+2a^{2},
1+\tan^{2}\delta=(1+2a^{2})^{2},
\tan^{2}\delta=(1+2a^{2})^{2}-1.
  • Substituindo a=1/4 (logo a^{2}=1/16=0{,}0625):
1+2a^{2}=1+2\cdot\frac{1}{16}=1+\frac{1}{8}=1{,}125=\frac{9}{8},
\tan^{2}\delta=\Bigl(\frac{9}{8}\Bigr)^{2}-1=\frac{81}{64}-1=\frac{17}{64}.
Portanto
\tan\delta=\sqrt{\frac{17}{64}}=\frac{\sqrt{17}}{8}\approx0{,}515388.

Passo 4

Determinar \beta (coeficiente de fase).
  • Usando a fórmula para \beta e os valores que já temos. Note que já calculámos \sqrt{1+\tan^{2}\delta}=1+2a^{2}=\dfrac{9}{8}. Então
\beta = X\sqrt{\frac{\sqrt{1+\tan^{2}\delta}+1}{2}} =\frac{4}{3}\sqrt{\frac{\tfrac{9}{8}+1}{2}} =\frac{4}{3}\sqrt{\frac{\tfrac{17}{8}}{2}} =\frac{4}{3}\sqrt{\frac{17}{16}} =\frac{4}{3}\cdot\frac{\sqrt{17}}{4} =\frac{\sqrt{17}}{3}\\ \mathrm{m}^{-1}.
  • Valor numérico:
\beta=\frac{\sqrt{17}}{3}\approx\frac{4{,}1231056}{3}\approx1{,}37437\\ \mathrm{m}^{-1}.

Passo 5

Determinar a velocidade de fase v.
  • Definição da velocidade de fase:
v\equiv\frac{\omega}{\beta}.
  • Substituindo \omega=10^{8} e \beta=\dfrac{\sqrt{17}}{3}:
v=\frac{10^{8}}{\sqrt{17}/3}=\frac{3\cdot10^{8}}{\sqrt{17}}\\ \mathrm{m/s}.
  • Valor numérico aproximado:
v\approx\frac{3\cdot10^{8}}{4{,}1231056}\approx7{,}273\times10^{7}\\ \mathrm{m/s}.

Passo 6

Calcular a impedância intrínseca \eta (complexa).
  • A impedância complexa da onda em meio com \tilde{\varepsilon}=\varepsilon(1-j\tan\delta) é
\eta=\sqrt{\frac{\mu}{\tilde{\varepsilon}}} =\sqrt{\frac{\mu}{\varepsilon}}\,(1-j\tan\delta)^{-1/2}.
  • A impedância característica do vácuo \eta_{0}=\sqrt{\dfrac{\mu_{0}}{\varepsilon_{0}}}\approx377\\ \Omega. Assim
\sqrt{\frac{\mu}{\varepsilon}}=\eta_{0}\sqrt{\frac{\mu_{r}}{\varepsilon_{r}}} =\eta_{0}\sqrt{\frac{2}{8}}=\eta_{0}\frac{1}{2}=\frac{377}{2}=188{,}5\\ \Omega.
  • Escrever 1-j\tan\delta em forma polar. Já temos \tan\delta=\dfrac{\sqrt{17}}{8}. Então
|1-j\tan\delta|=\sqrt{1+\tan^{2}\delta}=\sqrt{\frac{81}{64}}=\frac{9}{8},
e o argumento é
\arg(1-j\tan\delta)=-\arctan(\tan\delta)=-\arctan\!\Bigl(\frac{\sqrt{17}}{8}\Bigr).
  • Assim
(1-j\tan\delta)^{-1/2}=(1+\tan^{2}\delta)^{-1/4}e^{-j\frac{\arg(1-j\tan\delta)}{2}}.
Como 1+\tan^{2}\delta=\dfrac{81}{64}, tem-se
(1+\tan^{2}\delta)^{-1/4}=\Bigl(\frac{81}{64}\Bigr)^{-1/4}=\frac{2\sqrt{2}}{3}.
  • Portanto a magnitude de \eta é
|\eta|=188{,}5\cdot\frac{2\sqrt{2}}{3}=\frac{377\sqrt{2}}{3}\\ \Omega\approx177{,}72\\ \Omega.
  • O argumento de \eta (fase) é
\arg(\eta)=-\frac{1}{2}\arctan\!\Bigl(\frac{\sqrt{17}}{8}\Bigr)\approx-0{,}23794\\ \mathrm{rad}\approx-13{,}63^\circ.
  • Podemos escrever \eta em forma fasorial (retangular aproximada):
\eta\approx177{,}72\angle(-13{,}63^\circ)\\ \Omega
ou em retangular
\eta\approx(172{,}8 - j\,41{,}8)\\ \Omega\quad(\text{valores aproximados}).

Passo 7

Determinar o campo magnético \mathbf{H}.
  • Relação entre os fasores (convecção e^{j\omega t}):
\tilde{\mathbf{H}}=\frac{1}{\eta}\,\hat{k}\times\tilde{\mathbf{E}},
para uma onda que se propaga na direção +\hat{\mathbf{z}} (aqui \hat{k}=\hat{\mathbf{z}}). No nosso caso \tilde{\mathbf{E}}(z)=E_{0}e^{-\gamma z}\hat{\mathbf{i}} (fasor), com E_{0}=0{,}5.
A direção do campo magnético será
\hat{\mathbf{z}}\times\hat{\mathbf{i}}=\hat{\mathbf{y}}.
  • Para voltar ao domínio do tempo e manter a forma com \sin (como o enunciado), é prático usar a identidade \sin\theta=\cos(\theta-\tfrac{\pi}{2}) e proceder de forma consistente. O resultado final, com a fase introduzida pela impedância complexa, é
\mathbf{H}(z,t)=\frac{0{,}5}{|\eta|}\,e^{-z/3}\, \sin\!\bigl(10^{8}t-\beta z-\arg(\eta)\bigr)\,\hat{\mathbf{y}}.
Explicação rápida do sinal de fase: o fator complexo \eta altera a fase entre \mathbf{E} e \mathbf{H}; a forma acima apresenta explicitamente essa defasagem -\arg(\eta) no seno de \mathbf{H}.

Passo 8

Substituir valores numéricos e apresentar resultados finais (valores aproximados com 4 algarismos relevantes).
  • Tangente de perdas:
\Tan(\delta)=\frac{\sqrt{17}}{8}\approx0{,}515388.
  • Coeficiente de fase:
\beta=\frac{\sqrt{17}}{3}\approx1{,}37437\\ \mathrm{m}^{-1}.
  • Velocidade de fase:
v=\frac{3\cdot10^{8}}{\sqrt{17}}\\ \mathrm{m/s}\approx7{,}273\times10^{7}\\ \mathrm{m/s}.
  • Impedância da onda:
\eta=\sqrt{\frac{\mu}{\varepsilon}}\,(1-j\tan\delta)^{-1/2} \approx177{,}72\angle(-13{,}63^\circ)\\ \Omega
ou
\eta\approx(172{,}8 - j\,41{,}8)\\ \Omega.
  • Campo magnético (expressão final no domínio do tempo):
\mathbf{H}(z,t)\approx \frac{0{,}5}{177{,}72}\,e^{-z/3}\, \sin\!\bigl(10^{8}t-1{,}37437\,z+0{,}23794\bigr)\,\hat{\mathbf{y}}
(lembrando que -\arg\eta\approx+0{,}23794\\ \mathrm{rad} e 1{,}37437 é \beta). Numericamente a amplitude prefatorial é aproximadamente
\frac{0{,}5}{177{,}72}\approx2{,}814\times10^{-3}\\ \mathrm{A/m},
portanto
\mathbf{H}(z,t)\approx 2{,}814\times10^{-3}\,e^{-z/3}\, \sin\!\bigl(10^{8}t-1{,}37437\,z+0{,}23794\bigr)\,\hat{\mathbf{y}}\\ \mathrm{[A/m]}.

Resposta

v=\dfrac{3\cdot10^{8}}{\sqrt{17}}\\ \mathrm{m/s}\approx7{,}273\times10^{7}\\ \mathrm{m/s}\n
\beta=\dfrac{\sqrt{17}}{3}\\ \mathrm{m}^{-1}\approx1{,}37437\\ \mathrm{m}^{-1}\n
\Tan(\delta)=\dfrac{\sqrt{17}}{8}\approx0{,}515388\n
\eta\approx177{,}72\angle(-13{,}63^\circ)\\ \Omega (ou \eta\approx172{,}8 - j\,41{,}8\\ \Omega)\n
\mathbf{H}(z,t)\approx2{,}814\times10^{-3}\,e^{-z/3}\sin\!\bigl(10^{8}t-1{,}37437\,z+0{,}23794\bigr)\,\hat{\mathbf{y}}\\ \mathrm{[A/m]}

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