Uma onda plana propagando-se em um meio com
e
tem um campo elétrico na forma
. Calcule
(a) a velocidade de fase v
(b)
(c) a tangente de perdas
(d) a impedância da onda
(e) o campo
(a) a velocidade de fase v
(b)
(c) a tangente de perdas
(d) a impedância da onda
(e) o campo
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede.
Dados do enunciado:
- Meio com
e . - Campo elétrico (no domínio do tempo) fornecido:
- A forma exponencial
indica um decaimento espacial do campo; portanto o termo de atenuação espacial é . - A pulsação é
.
O enunciado pede:
(a) a velocidade de fase ;
(b) o coeficiente de fase ;
(c) a tangente de perdas ;
(d) a impedância da onda (complexa);
(e) o campo magnético no domínio do tempo correspondente ao
dado.
(a) a velocidade de fase
(b) o coeficiente de fase
(c) a tangente de perdas ;
(d) a impedância da onda
(e) o campo magnético
Passo 2
Relações fundamentais e simplificações úteis (passo-a-passo didático).
- Vamos usar as constantes do vácuo:
e, por definição,
- Definimos a pulsação
(já dada) e o parâmetro
Usando
e
, obtemos
Substituindo
,
e
,
portanto
- Para um meio condutor genérico define-se a tangente de perdas
O número de propagação complexo vale
Das fórmulas padrão resulta (expressões que relacionam
com
):
onde já usamos
.
Passo 3
Determinar
a partir de
.
- Já sabemos
e . Definindo
temos
- A relação para
dá
Resolva para
:
- Substituindo
(logo ):
Portanto
Passo 4
Determinar
(coeficiente de fase).
- Usando a fórmula para
e os valores que já temos. Note que já calculámos . Então
- Valor numérico:
Passo 5
Determinar a velocidade de fase
.
- Definição da velocidade de fase:
- Substituindo
e :
- Valor numérico aproximado:
Passo 6
Calcular a impedância intrínseca
(complexa).
- A impedância complexa da onda em meio com
é
- A impedância característica do vácuo
. Assim
- Escrever
em forma polar. Já temos . Então
e o argumento é
- Assim
Como
, tem-se
- Portanto a magnitude de
é
- O argumento de
(fase) é
- Podemos escrever
em forma fasorial (retangular aproximada):
ou em retangular
Passo 7
Determinar o campo magnético
.
- Relação entre os fasores (convecção
):
para uma onda que se propaga na direção
(aqui
). No nosso caso
(fasor), com
.
A direção do campo magnético será
A direção do campo magnético será
- Para voltar ao domínio do tempo e manter a forma com
(como o enunciado), é prático usar a identidade e proceder de forma consistente. O resultado final, com a fase introduzida pela impedância complexa, é
Explicação rápida do sinal de fase: o fator complexo
altera a fase entre
e
; a forma acima apresenta explicitamente essa defasagem
no seno de
.
Passo 8
Substituir valores numéricos e apresentar resultados finais (valores aproximados com 4 algarismos relevantes).
- Tangente de perdas:
- Coeficiente de fase:
- Velocidade de fase:
- Impedância da onda:
ou
- Campo magnético (expressão final no domínio do tempo):
(lembrando que
e
é
). Numericamente a amplitude prefatorial é aproximadamente
portanto
Resposta
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