Em que:
: Perda de carga que ocorre no trecho entre o início da linha e uma distância
qualquer, a partir do início.
: Perda de carga que ocorre na linha lateral toda (m)
: Comprimento total da linha lateral (m)
Passo 1
Resumo do enunciado: quero mostrar que, ao longo de uma linha lateral onde a vazão vai diminuindo até zero no fim, a perda de carga acumulada até uma distância
do início é
Conteúdo: hidráulica de rede, perda de carga proporcional à vazão elevada a um expoente
, e integração para vazão variável. Vamos usar:
- a lei de perda de carga
; - a variação linear da vazão ao longo da lateral;
- integração de 0 a
.
Passo 2
Definindo parâmetros e fluxo local
– é a vazão total que entra no início da lateral.
– A cada ponto (medido do início), a vazão remanescente é proporcional ao comprimento que ainda falta, ou seja:
–
– A cada ponto
– A perda de carga incremental ao longo de um pedacinho
é
Aqui,
é uma constante que depende da tubulação (diâmetro, rugosidade etc.).
Passo 3
Integração de 0 até
Somando as desde o início (
) até
:
Somando as
Fazendo a substituição
, temos
. Quando
,
; quando
,
. Então:
E a integral de
é
.
Passo 4
Avalia a integral:
Passo 5
Expressão da perda de carga total
A perda total ao longo de toda a lateral ( ) é
A perda total ao longo de toda a lateral (
Substituindo
na expressão de
: