h f(l)=h f[1-(1-lL)^m+1]
Em que:
h f(l) : Perda de carga que ocorre no trecho entre o início da linha e uma distância l qualquer, a partir do início.
h f : Perda de carga que ocorre na linha lateral toda (m)
L : Comprimento total da linha lateral (m)

Passo 1

Resumo do enunciado: quero mostrar que, ao longo de uma linha lateral onde a vazão vai diminuindo até zero no fim, a perda de carga acumulada até uma distância hf(l);=;hfl[1-l(1-tfraclLr)^m+1r] do início é
Conteúdo: hidráulica de rede, perda de carga proporcional à vazão elevada a um expoente , e integração para vazão variável. Vamos usar:
  1. a lei de perda de carga ;
  2. a variação linear da vazão ao longo da lateral;
  3. integração de 0 a .

Passo 2

Definindo parâmetros e fluxo local
Q(x);=;Q;L - xL é a vazão total que entra no início da lateral.
– A cada ponto dh ;=;K,[Q(x)]^m,dx = K,Q^ml(L-xLr)^mdx (medido do início), a vazão remanescente é proporcional ao comprimento que ainda falta, ou seja:
– A perda de carga incremental ao longo de um pedacinho é
Aqui, é uma constante que depende da tubulação (diâmetro, rugosidade etc.).

Passo 3

Integração de 0 até hf(l) =integral0^lK,Q^ml(L-xLr)^mdx =K,Q^mintegral0^ll(1-tfracxLr)^mdx
Somando as hf(l) =K,Q^mintegralu=1^u=1-lLu^m(-L,du) =K,Q^m,Lintegralu=1-lL^u=1u^m,du desde o início ( ) até :
Fazendo a substituição , temos . Quando , ; quando , . Então:
E a integral de é .

Passo 4

Avalia a integral:
hf(l) =K,Q^m,Ll[u^m+1m+1r]u=1-lL^u=1 =K,Q^m,L,1 - l(1-tfraclLr)^m+1m+1

Passo 5

Expressão da perda de carga total
A perda total ao longo de toda a lateral ( hf = hf(L) =K,Q^m,L,1 - (1-1)^m+1m+1 =K,Q^m,L,1m+1 Longrightarrow K,Q^m = hf;m+1L ) é
hf(l) =l(hf;m+1Lr),L,1 - l(1-tfraclLr)^m+1m+1 =hfl[1-l(1-tfraclLr)^m+1r]
Substituindo na expressão de :

Resposta

boxed,hf(l)=hfl[1-l(1-tfraclLr)^m+1r],

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