- vazão de cada saída (aspersor)
;
- variação de carga pressão permitida no trecho que compreende o início da linha lateral (ponto 1) e o último emissor
;
- material do tubo
- tubulação da linha lateral posicionada em nível
- utilizar fórmula de Hazen-Williams e fator de correção de Christiansen
- desprezar perdas localizadas e variação de carga cinética em todos os cálculos
- a vazão na extremidade final da linha lateral é zero
Pede-se:
a) o diâmetro teórico da tubulação
Pede-se:
a) o diâmetro teórico da tubulação
Passo 1
Beleza, o enunciado diz que temos uma linha lateral com vários emissores (aspersores), cada um jogando 11 m³/h, e a gente só pode perder até 8 m de carga (diferença de altura transformada em pressão) do ponto 1 (início da lateral) até o último emissor. O tubo é de PVC (coeficiente C = 150), está todo no mesmo nível, a vazão no final da linha é zero (porque lá não tem mais emissor) e a gente vai usar a fórmula de Hazen–Williams mais o “fator” de Christiansen pra considerar que a vazão vai diminuindo ao longo da linha. No fim, queremos achar o diâmetro interno teórico do tubo que atende a isso.
O que vamos precisar:
- Fórmula de Hazen–Williams para perda de carga unitária:
i = 10,67·Q^1,852 / (C1,852·D4,87) - Estratégia de Christiansen (integração da perda ao longo da linha com Q que varia de Q_total no início a zero no fim)
- Resolver a integral de 0 a L e isolar D.
Passo 2
Conteúdo teórico: no Hazen–Williams a perda de carga unitária i (m de coluna de água por m de tubo) varia com a vazão Q elevada a um expoente m = 1,852 e com o diâmetro D elevado a 4,87. Se a vazão fosse constante, a perda total H seria i·L. Mas aqui a vazão Q(x) na posição x varia porque, do início ao fim, os emissores vão “retirando” água. O método de Christiansen diz pra integrar i(x) dx de 0 a L, sabendo que Q(x)=Q_total·(1–x/L).
Passo 3
Escrevendo H (variação total de carga) por meio da integral:
H = ∫₀ᴸ i(x)·dx
Substituindo i(x) pela fórmula de Hazen–Williams e Q(x)=Q_t·(1–x/L):
H = ∫₀ᴸ [10,67·(Q_t·(1–x/L))^1,852 / (C1,852·D4,87)] dx
H = ∫₀ᴸ i(x)·dx
Substituindo i(x) pela fórmula de Hazen–Williams e Q(x)=Q_t·(1–x/L):
H = ∫₀ᴸ [10,67·(Q_t·(1–x/L))^1,852 / (C1,852·D4,87)] dx
Passo 4
Fatoramos tudo que não depende de x para fora da integral:
H = 10,67·Q_t^1,852
__________________________________
C1,852·D4,87
· ∫₀ᴸ (1–x/L)^1,852 dx
H = 10,67·Q_t^1,852
__________________________________
C1,852·D4,87
· ∫₀ᴸ (1–x/L)^1,852 dx
A integral ∫₀ᴸ (1–x/L)^m dx = L/(m+1), com m=1,852, então m+1=2,852. Logo:
∫₀ᴸ (1–x/L)^1,852 dx = L / 2,852
∫₀ᴸ (1–x/L)^1,852 dx = L / 2,852
Substituindo de volta:
H = [10,67·Q_t^1,852·L]
_________________________
[C1,852·D4,87·2,852]
H = [10,67·Q_t^1,852·L]
_________________________
[C1,852·D4,87·2,852]
Passo 5
Agora isola D:
D^4,87 = [10,67·Q_t^1,852·L] / [C^1,852·2,852·H]
D^4,87 = [10,67·Q_t^1,852·L] / [C^1,852·2,852·H]
D = { [10,67·Q_t^1,852·L] / [C^1,852·2,852·H] }^(1/4,87)
Substituindo C = 150 e H = 8 m:
D_teórico =
\displaystyle
\biggl[\frac{10{,}67;Q_t{1,852};L}{150{1,852};\times2{,}852;\times8}\biggr]^{\tfrac{1}{4,87}}
D_teórico =
\displaystyle
\biggl[\frac{10{,}67;Q_t{1,852};L}{150{1,852};\times2{,}852;\times8}\biggr]^{\tfrac{1}{4,87}}
Resposta
O diâmetro interno teórico da tubulação será dado por
D =
\displaystyle
\Biggl[\frac{10{,}67,Q_{\rm total}{1,852},L}{150{1,852},\times2{,}852,\times8}\Biggr]^{1/4,87},.
\displaystyle
\Biggl[\frac{10{,}67,Q_{\rm total}{1,852},L}{150{1,852},\times2{,}852,\times8}\Biggr]^{1/4,87},.