• vazão de cada saída (aspersor) =11 m^3 / h;
  • variação de carga pressão permitida no trecho que compreende o início da linha lateral (ponto 1) e o último emissor =8 m((p1-p 2) / gamma);
  • material do tubo =PVC(C=150)
  • tubulação da linha lateral posicionada em nível
  • utilizar fórmula de Hazen-Williams e fator de correção de Christiansen
  • desprezar perdas localizadas e variação de carga cinética em todos os cálculos
  • a vazão na extremidade final da linha lateral é zero
    Pede-se:
    a) o diâmetro teórico da tubulação

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que temos uma linha lateral com vários emissores (aspersores), cada um jogando 11 m³/h, e a gente só pode perder até 8 m de carga (diferença de altura transformada em pressão) do ponto 1 (início da lateral) até o último emissor. O tubo é de PVC (coeficiente C = 150), está todo no mesmo nível, a vazão no final da linha é zero (porque lá não tem mais emissor) e a gente vai usar a fórmula de Hazen–Williams mais o “fator” de Christiansen pra considerar que a vazão vai diminuindo ao longo da linha. No fim, queremos achar o diâmetro interno teórico do tubo que atende a isso.
O que vamos precisar:
  • Fórmula de Hazen–Williams para perda de carga unitária:
    i = 10,67·Q^1,852 / (C1,852·D4,87)
  • Estratégia de Christiansen (integração da perda ao longo da linha com Q que varia de Q_total no início a zero no fim)
  • Resolver a integral de 0 a L e isolar D.

Passo 2

Conteúdo teórico: no Hazen–Williams a perda de carga unitária i (m de coluna de água por m de tubo) varia com a vazão Q elevada a um expoente m = 1,852 e com o diâmetro D elevado a 4,87. Se a vazão fosse constante, a perda total H seria i·L. Mas aqui a vazão Q(x) na posição x varia porque, do início ao fim, os emissores vão “retirando” água. O método de Christiansen diz pra integrar i(x) dx de 0 a L, sabendo que Q(x)=Q_total·(1–x/L).

Passo 3

Escrevendo H (variação total de carga) por meio da integral:
H = ∫₀ᴸ i(x)·dx
Substituindo i(x) pela fórmula de Hazen–Williams e Q(x)=Q_t·(1–x/L):
H = ∫₀ᴸ [10,67·(Q_t·(1–x/L))^1,852 / (C1,852·D4,87)] dx

Passo 4

Fatoramos tudo que não depende de x para fora da integral:
H = 10,67·Q_t^1,852
__________________________________
C1,852·D4,87
· ∫₀ᴸ (1–x/L)^1,852 dx
A integral ∫₀ᴸ (1–x/L)^m dx = L/(m+1), com m=1,852, então m+1=2,852. Logo:
∫₀ᴸ (1–x/L)^1,852 dx = L / 2,852
Substituindo de volta:
H = [10,67·Q_t^1,852·L]
_________________________
[C1,852·D4,87·2,852]

Passo 5

Agora isola D:
D^4,87 = [10,67·Q_t^1,852·L] / [C^1,852·2,852·H]
D = { [10,67·Q_t^1,852·L] / [C^1,852·2,852·H] }^(1/4,87)
Substituindo C = 150 e H = 8 m:
D_teórico =
\displaystyle
\biggl[\frac{10{,}67;Q_t{1,852};L}{150{1,852};\times2{,}852;\times8}\biggr]^{\tfrac{1}{4,87}}

Resposta

O diâmetro interno teórico da tubulação será dado por
D =
\displaystyle
\Biggl[\frac{10{,}67,Q_{\rm total}{1,852},L}{150{1,852},\times2{,}852,\times8}\Biggr]^{1/4,87},.

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