(h) lim n +infty(1+1n)^n+3.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que encontrar o limite quando vai para mais infinito de . Esse problema está relacionado ao cálculo de limites e, mais especificamente, envolve a famosa constante matemática . Para resolver, vamos precisar entender como as expressões na forma se comportam quando cresce sem limite.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar de uma propriedade importante: , onde é aproximadamente 2,71828. Essa expressão é uma das definições clássicas da constante . Agora, nosso desafio é lidar com o expoente em vez de apenas .

Passo 3

Vamos reescrever a expressão original para separar o expoente (1 + 1n)^n+3 = (1 + 1n)^n times (1 + 1n)^3 em duas partes:
Agora, sabemos que tende a quando vai para mais infinito. E quanto a ?

Passo 4

Vamos analisar . Quando cresce muito, fica muito pequeno, praticamente zero. Então, tende a .

Passo 5

Agora, juntando tudo:
limn to +infty (1 + 1n)^n+3 = limn to +infty (1 + 1n)^n times limn to +infty (1 + 1n)^3 = e times 1 = e

Resposta

O limite é igual a .

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