Calcule o volume do sólido gerado pela rotação, em torno do eixo x, dos gráficos das funções dadas: f(x) = raiz(R^2 - x^2), -R <= x <= R (R > 0)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o volume de um sólido que é formado quando a curva da função gira em torno do eixo , no intervalo de a . Para isso, vamos usar o cálculo integral, especificamente o método dos discos, que ajuda a encontrar volumes de sólidos de rotação.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o método dos discos. Imagine que a curva é cortada em pequenas fatias finas, perpendiculares ao eixo . Cada fatia forma um disco quando a curva gira em torno do eixo. O volume de cada disco é dado por . Aqui, o raio de cada disco é e a espessura é . Então, o volume de um pequeno disco é .

Passo 3

Agora, para encontrar o volume total do sólido, precisamos somar os volumes de todos esses discos desde até . Isso é feito através de uma integral definida:
Substituindo pela função dada:

Passo 4

Para facilitar a integração, vamos aproveitar a simetria da função. Como é uma função par (ou seja, é simétrica em relação ao eixo ), podemos calcular a integral de 0 a e depois multiplicar por 2:

Passo 5

Agora, vamos calcular a integral:
Substituindo os limites de integração:

Passo 6

Multiplicando pelo fator 2 e por :

Resposta

O volume do sólido gerado é .

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