Se H(s) e^-10 ss+H(s) e^-10 s , calcule a transformada de Laplace inversa de

Passo 1

Neste exercício queremos calcular a transformada de Laplace inversa de
H(s)e^-10ss + H(s)e^-10s
onde
H(s) = 1s^2 + 2s + 3
Vamos usar: completamento do quadrado para obter uma transformada conhecida, o teorema do deslocamento no tempo (fórmula do atraso) e a relação L^-1[F(s)/s]=integral0^t f(tau)dtau.

Passo 2

Fazendo o completamento do quadrado em s^2+2s+3:
s^2 + 2s + 3 = (s+1)^2 + 2
Assim
H(s) = 1(s+1)^2 + (raiz2)^2
E da tabela de transformadas sabemos que
L[e^-tsin(raiz2,t)] = raiz2(s+1)^2 + 2
Logo podemos escrever
H(s) = 1raiz2cdotraiz2(s+1)^2 + 2
e portanto
h(t) = L^-1[H(s)] = 1raiz2e^-tsin(raiz2,t)

Passo 3

Aplicamos o teorema do deslocamento no tempo ao termo H(s)e^-10s. Se L^-1[H(s)]=h(t), então
L^-1[H(s)e^-10s] = u(t-10),h(t-10)
Logo
f1(t) = u(t-10)1raiz2e^-(t-10)sinl(raiz2,(t-10)r)

Passo 4

Para o termo H(s)/s usamos a propriedade
L^-1l[H(s)sr] = integral0^t h(tau),dtau
ou seja
f2(t) = integral0^t 1raiz2e^-tausin(raiz2,tau),dtau

Passo 5

Calculamos a integral por partes (ou usando fórmula tabulada) e obtemos
integral0^t e^-tausin(raiz2,tau),dtau = e^-tl(sin(raiz2 t) + raiz2cos(raiz2 t)r) - raiz2
Multiplicando por 1/raiz2
f2(t) = e^-tl(cos(raiz2 t) + tfrac1raiz2sin(raiz2 t)r) - 1

Passo 6

Agora aplicamos atraso ao f2 multiplicando por e^-10s:
L^-1[H(s)e^-10s/s] = u(t-10),f2(t-10)
Logo
f2^(at)(t) = u(t-10)l(e^-(t-10)l(cos(raiz2(t-10)) + tfrac1raiz2sin(raiz2(t-10))r) - 1r)

Passo 7

A resposta final é a soma dos dois atrasados f1 + f2^(at). Somando as parcelas exponenciais nota-se que os senos se agrupam em raiz2 e surge um único termo. Assim o resultado é:

Resposta

f(t)=u(t-10)l(e^-(t-10)l(cos(raiz2,(t-10))+raiz2,sin(raiz2,(t-10))r)-1r)

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