Se
, calcule a transformada de Laplace inversa de
Passo 1
Neste exercício queremos calcular a transformada de Laplace inversa de
onde
Vamos usar: completamento do quadrado para obter uma transformada conhecida, o teorema do deslocamento no tempo (fórmula do atraso) e a relação
Passo 2
Fazendo o completamento do quadrado em
:
Assim
E da tabela de transformadas sabemos que
Logo podemos escrever
e portanto
Passo 3
Aplicamos o teorema do deslocamento no tempo ao termo
. Se
, então
Logo
Passo 4
Para o termo
usamos a propriedade
ou seja
Passo 5
Calculamos a integral por partes (ou usando fórmula tabulada) e obtemos
Multiplicando por
dá
Passo 6
Agora aplicamos atraso ao
multiplicando por
:
Logo
Passo 7
A resposta final é a soma dos dois atrasados
. Somando as parcelas exponenciais nota-se que os senos se agrupam em
e surge um único termo. Assim o resultado é: