Encontre a solução do PVI abaixo.
Passo 1
A gente tem um PVI de segunda ordem com forçamento impulsivo e degrau deslocado:
y’’ + 2y’ + 3y = δ(t−10) + u₁₀(t), y(0)=0, y’(0)=0.
Conteúdo: usar transformada de Laplace, propriedades de δ e degrau e o teorema do deslocamento no tempo.
Conteúdo: usar transformada de Laplace, propriedades de δ e degrau e o teorema do deslocamento no tempo.
Passo 2
Tomamos a transformada de Laplace em ambos os lados. Lembrando que
• L{y’’} = s²Y(s) − s y(0) − y’(0) = s² Y(s),
• L{2y’} = 2[sY(s) − y(0)] = 2sY(s),
• L{3y} = 3Y(s),
• L{δ(t−10)} = e^{−10s},
• L{u₁₀(t)} = e^{−10s}/s.
• L{2y’} = 2[sY(s) − y(0)] = 2sY(s),
• L{3y} = 3Y(s),
• L{δ(t−10)} = e^{−10s},
• L{u₁₀(t)} = e^{−10s}/s.
Então a equação vira
Passo 3
Isolamos Y(s) e fatoramos o termo deslocado:
Pelo teorema do deslocamento, y(t) será a soma de duas funções (sem deslocamento) avaliadas em t−10 vezes u₁₀(t).
Passo 4
Precisamos achar
- f(t) = L^{−1}{1/(s²+2s+3)},
- g(t) = L^{−1}{1/[s(s²+2s+3)]}.
Para g(s) fazemos frações parciais:
Igualando 1 = A(s²+2s+3) + (Bs+C)s e comparando coeficientes, obtemos A=1/3, B=−1/3, C=−2/3.
Passo 5
Com esses valores,
Invertendo cada parcela:
• L^{−1}{1/(s²+2s+3)} = e^{−t}\frac{1}{\sqrt2}\sin(\sqrt2 t).
• L^{−1}{1/(3s)} = 1/3.
• Para
(−1/3)s −2/3 no numerador, escrevemos
(−1/3)(s+1) + (−1/3)
e obtemos
e^{−t}\bigl[(-1/3)\cos(\sqrt2 t) + (-1/(3\sqrt2))\sin(\sqrt2 t)\bigr].
Passo 6
Portanto
Pelo deslocamento:
Somando f+g e simplificando os coeficientes das funções exponenciais, chegamos à forma final.
Passo 7
A solução geral do PVI é dada por
Resposta
y(t)=u_{10}(t)\left{\frac{1}{3} + e^{-(t-10)}\left[-\frac{1}{3}\cos\bigl(\sqrt{2}(t-10)\bigr) + \frac{2}{3\sqrt{2}}\sin\bigl(\sqrt{2}(t-10)\bigr)\right]\right}