Encontre a solução do PVI abaixo.
l y^prime prime+2 y^prime+3 y=de

Passo 1

A gente tem um PVI de segunda ordem com forçamento impulsivo e degrau deslocado:
y’’ + 2y’ + 3y = δ(t−10) + u₁₀(t), y(0)=0, y’(0)=0.
Conteúdo: usar transformada de Laplace, propriedades de δ e degrau e o teorema do deslocamento no tempo.

Passo 2

Tomamos a transformada de Laplace em ambos os lados. Lembrando que
• L{y’’} = s²Y(s) − s y(0) − y’(0) = s² Y(s),
• L{2y’} = 2[sY(s) − y(0)] = 2sY(s),
• L{3y} = 3Y(s),
• L{δ(t−10)} = e^{−10s},
• L{u₁₀(t)} = e^{−10s}/s.
Então a equação vira
(s² + 2s + 3)Y(s) = e^−10s + e^−10ss²

Passo 3

Isolamos Y(s) e fatoramos o termo deslocado:
Y(s) = e^−10s + e^−10s/ss² +2s+3 = e^−10sl(1s²+2s+3 + 1s(s²+2s+3)r)²²²
Pelo teorema do deslocamento, y(t) será a soma de duas funções (sem deslocamento) avaliadas em t−10 vezes u₁₀(t).

Passo 4

Precisamos achar
  1. f(t) = L^{−1}{1/(s²+2s+3)},
  2. g(t) = L^{−1}{1/[s(s²+2s+3)]}.
Para g(s) fazemos frações parciais:
1s(s²+2s+3) = As + Bs + Cs²+2s+3²²
Igualando 1 = A(s²+2s+3) + (Bs+C)s e comparando coeficientes, obtemos A=1/3, B=−1/3, C=−2/3.

Passo 5

Com esses valores,
1s(s²+2s+3) = 1/3s + -tfrac13s - tfrac23(s+1)²+2²²
Invertendo cada parcela:
• L^{−1}{1/(s²+2s+3)} = e^{−t}\frac{1}{\sqrt2}\sin(\sqrt2 t).
• L^{−1}{1/(3s)} = 1/3.
• Para (−1/3)s −2/3 no numerador, escrevemos
(−1/3)(s+1) + (−1/3)
e obtemos
e^{−t}\bigl[(-1/3)\cos(\sqrt2 t) + (-1/(3\sqrt2))\sin(\sqrt2 t)\bigr].

Passo 6

Portanto
f(t)=e^−t1raiz2sin(raiz2 t),
g(t)=13 - 13e^−tl[cos(raiz2 t)+1raiz2sin(raiz2 t)r]
Pelo deslocamento:
y(t)=u10(t)f(t-10)+g(t-10)
Somando f+g e simplificando os coeficientes das funções exponenciais, chegamos à forma final.

Passo 7

A solução geral do PVI é dada por
y(t)=u10(t)l13 + e^-(t-10)l[-13cosl(raiz2(t-10)r) + 23raiz2sinl(raiz2(t-10)r)r]r

Resposta

y(t)=u_{10}(t)\left{\frac{1}{3} + e^{-(t-10)}\left[-\frac{1}{3}\cos\bigl(\sqrt{2}(t-10)\bigr) + \frac{2}{3\sqrt{2}}\sin\bigl(\sqrt{2}(t-10)\bigr)\right]\right}

Exercícios relacionados