Encontre a solução geral da equação de Airy
, onde
.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar a solução geral da equação de Airy
no domínio real completo. É uma EDO linear de segunda ordem com coeficiente variável, e a gente vai precisar do método de séries de potências para identificar as soluções que levam às funções especiais de Airy.
Passo 2
A gente supõe uma solução em série de potências em torno de zero:
Calculando a segunda derivada e substituindo em
dá a recorrência
Isso mostra que só
e
são coeficientes livres, gerando duas soluções independentes.
Passo 3
Escolhendo
a gente obtém uma solução em série que chamamos de
(função de Airy de primeira espécie). Escolhendo
a gente obtém a outra solução independente
(função de Airy de segunda espécie). Essas funções satisfazem a equação e são linearmente independentes.
Passo 4
Por ser uma EDO de segunda ordem, a solução geral é uma combinação linear das duas soluções independentes. Ela fica
Aqui,
e
são constantes arbitrárias determinadas pelas condições iniciais.