Encontre a solução geral da equação de Airy y^prime prime-x y=0, onde -infty.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a solução geral da equação de Airy y'' - x,y = 0 no domínio real completo. É uma EDO linear de segunda ordem com coeficiente variável, e a gente vai precisar do método de séries de potências para identificar as soluções que levam às funções especiais de Airy.

Passo 2

A gente supõe uma solução em série de potências em torno de zero:
y(x)=sumn=0^infty an x^n
Calculando a segunda derivada e substituindo em y'' - x,y = 0 dá a recorrência
2cdot1,a2=0Rightarrow a2=0,
(n+2)(n+1),an+2-an-1=0(n>=1)Rightarrow an+2=an-1(n+2)(n+1)
Isso mostra que só a0 e a1 são coeficientes livres, gerando duas soluções independentes.

Passo 3

Escolhendo a0=1,a1=0 a gente obtém uma solução em série que chamamos de Ai(x) (função de Airy de primeira espécie). Escolhendo a0=0,a1=1 a gente obtém a outra solução independente Bi(x) (função de Airy de segunda espécie). Essas funções satisfazem a equação e são linearmente independentes.

Passo 4

Por ser uma EDO de segunda ordem, a solução geral é uma combinação linear das duas soluções independentes. Ela fica
y(x)=C1,Ai(x)+C2,Bi(x)
Aqui, C1 e C2 são constantes arbitrárias determinadas pelas condições iniciais.

Resposta

y(x)=C1,Ai(x)+C2,Bi(x)

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