(h) ( )A soma de duas matrizes inversíveis é sempre uma matriz inversível.
(i) ( )Se A é uma matriz quadrada tal que A^{4}=0, então
(I-A)^{-1}=I+A+A^{2}+A^{3}
  1. Seja A uma matriz quadrada de ordem 5 , cujo determinante é igual a -3 , pede-se:
    (a) O determinante da matriz P dada por P=4 A^{-1} A^{T}.

Passo 1

O enunciado dá uma matriz quadrada A de ordem 5 com \det(A)=-3 e define
P = 4\,A^{-1}A^{T}.
Precisamos usar propriedades de determinante: de produto de matrizes, de inversa, de transposta e de multiplicação por escalar.

Passo 2

Como P é 5\times5, vale a propriedade
\det(cM)=c^{5}\det(M)
para qualquer matriz M de ordem 5 e escalar c. Assim,
\det(P)=\det(4A^{-1}A^{T})=4^{5}\,\det(A^{-1}A^{T}).

Passo 3

Usando \det(A^{-1}A^{T})=\det(A^{-1})\,\det(A^{T}), com
\det(A^{-1})=\frac{1}{\det(A)} \quad\text{e}\quad \det(A^{T})=\det(A),
temos
\det(A^{-1}A^{T}) =\frac{1}{\det(A)}\cdot\det(A) =1.

Resposta

\det(P)=4^{5}\cdot1=1024.

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