Seja A=\left[\begin{array}{cccc}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} \\\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2 n} \\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\\ a_{n 1} & a_{n 2} & \cdots & a_{n n}\end{array}\right], uma matriz quadrada de ordem n. O traço de A, denotado por \operatorname{tr}(A), é definido como sendo o número real
ou seja, o traço de A é a soma dos elementos da diagonal principal de A. Dadas A e B matrizes quadradas de ordem n, valem as seguintes propriedades:
(a) \operatorname{tr}(A+B)=\operatorname{tr}(A)+\operatorname{tr}(B);
(c) \operatorname{tr}\left(A^{T}\right)=\operatorname{tr}(A);
(b) \operatorname{tr}(k A)=k \operatorname{tr}(A), onde k \in \mathbb{R}; (d) \operatorname{tr}(A B)=\operatorname{tr}(B A).
Verifique que se A é uma matriz m \times n, então os traços de A A^{T} e A^{T} A estão definidos. Em seguida prove que \operatorname{tr}\left(A A^{T}\right)=\operatorname{tr}\left(A^{T} A\right).
Passo 1
O enunciado define o traço de uma matriz quadrada e pede para verificar que, para uma matriz A de tamanho m\times n, as matrizes A A^{T} e A^{T}A são quadradas (isto é, seus traços estão definidos) e, em seguida, provar
\tr\bigl(A A^{T}\bigr)\;=\;\tr\bigl(A^{T}A\bigr).
Passo 2
Como A é de tamanho m\times n, sua transposta A^{T} é n\times m. Logo o produto
A\,A^{T}
é bem-definido e tem dimensões m\times m, e o produto
A^{T}A
é bem-definido e tem dimensões n\times n. Assim ambos são matrizes quadradas, e seus traços existem.